解説

方針・初手

直円錐を軸を含む平面で切ると，底辺 $2r$，高さ $h$，斜辺（母線） $l$ の二等辺三角形になる。

半径 $1$ の球が直円錐に内接するということは，この断面では半径 $1$ の円がその二等辺三角形に内接するということである。したがって，三角形の内接円半径の公式を使って $h,l$ と $r$ の関係を作り，最後に

$$ S=\pi r^2+\pi rl $$

を $r$ の式に直す。

解法1

断面の二等辺三角形の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 2r\cdot h=rh $$

であり，半周長は

$$ \frac{2r+2l}{2}=r+l $$

である。

内接円の半径が $1$ だから，内接円半径の公式より

$$ 1=\frac{rh}{r+l} $$

したがって

$$ rh=r+l $$

を得る。

また，母線 $l$ は直角三角形より

$$ l^2=r^2+h^2 $$

を満たす。

ここで $rh=r+l$ より

$$ l=r(h-1) $$

であるから，これを $l^2=r^2+h^2$ に代入すると

$$ r^2(h-1)^2=r^2+h^2 $$

すなわち

$$ r^2h^2-2r^2h+r^2=r^2+h^2 $$

より

$$ r^2h^2-2r^2h-h^2=0 $$

となる。$h>0$ なので，

$$ h\bigl((r^2-1)h-2r^2\bigr)=0 $$

から

$$ h=\frac{2r^2}{r^2-1} $$

である。したがって $r^2-1>0$，すなわち $r>1$ である。

さらに

$$ l=r(h-1) $$

より

$$ l=r\left(\frac{2r^2}{r^2-1}-1\right) =\frac{r(r^2+1)}{r^2-1} $$

を得る。

よって表面積 $S$ は

$$ S=\pi r^2+\pi rl $$

であるから，

$$ S=\pi r^2+\pi r\cdot \frac{r(r^2+1)}{r^2-1} $$

$$ =\pi r^2\left(1+\frac{r^2+1}{r^2-1}\right) =\pi r^2\cdot \frac{2r^2}{r^2-1} =\frac{2\pi r^4}{r^2-1} $$

となる。

次に最小値を求める。$x=r^2$ とおくと $x>1$ で，

$$ S=2\pi\frac{x^2}{x-1} $$

である。

これを微分すると

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{x-1}\right) =\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} =\frac{x(x-2)}{(x-1)^2} $$

となるので，

• $1<x<2$ で減少
• $x>2$ で増加

である。したがって最小となるのは $x=2$，すなわち

$$ r^2=2 \quad\Longleftrightarrow\quad r=\sqrt{2} $$

のときである。

そのとき

$$ S=\frac{2\pi (\sqrt{2})^4}{(\sqrt{2})^2-1} =\frac{2\pi\cdot 4}{1} =8\pi $$

となる。

解説

この問題の本質は，立体をそのまま扱うのではなく，軸を含む断面の二等辺三角形に落とすことである。球の内接は，断面では円の内接に対応する。

したがって，三角形の内接円半径の公式

$$ \text{内接円半径}=\frac{\text{面積}}{\text{半周長}} $$

を使うのが最も自然である。その後は $l^2=r^2+h^2$ を併用して $h,l$ を消去すればよい。

最小値は $r$ のまま処理してもよいが，$x=r^2$ とおくと有理式が簡単になり，増減が見やすくなる。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{2\pi r^4}{r^2-1}\qquad (r>1) $$

**(2)**

$$ S_{\min}=8\pi $$

であり，そのとき

$$ r=\sqrt{2} $$

である。