解説

方針・初手

$x$ をそのまま扱うよりも、$x=-a$ を中心に平行移動して $t=x+a$ とおくと、三次式が

$$ t^3-3(a^2-b)t+\text{定数} $$

の形になる。すると極値を与える点が $\pm \sqrt{a^2-b}$ となり、3つの異なる実数解をもつための条件と、解の存在範囲とが一度に見やすくなる。

解法1

与えられた三次関数を

$$ f(x)=x^3+3ax^2+3bx $$

とおく。直線 $y=c$ との交点の $x$ 座標は、方程式

$$ f(x)=c $$

すなわち

$$ x^3+3ax^2+3bx-c=0 $$

の実数解である。仮定より、この方程式は異なる3つの実数解をもつ。

まず、3つの異なる実数解をもつ三次方程式に対しては、Rolle の定理よりその導関数は異なる2つの実数解をもつ。したがって

$$ f'(x)=3x^2+6ax+3b=3(x^2+2ax+b) $$

は異なる2つの実数解をもつ。

よって二次方程式 $x^2+2ax+b=0$ の判別式は正であり、

$$ (2a)^2-4b>0 $$

すなわち

$$ a^2>b $$

が従う。

次に

$$ d=\sqrt{a^2-b} $$

とおく。今示したことより $d>0$ である。

ここで $t=x+a$ とおくと、$x=t-a$ だから

$$ x^3+3ax^2+3bx-c =(t-a)^3+3a(t-a)^2+3b(t-a)-c $$

であり、整理すると

$$ x^3+3ax^2+3bx-c =t^3+3(b-a^2)t+(2a^3-3ab-c) =t^3-3d^2t+m $$

となる。ただし

$$ m=2a^3-3ab-c $$

とおいた。

したがって、交点の $x$ 座標を求める方程式は、$t$ について

$$ g(t)=t^3-3d^2t+m=0 $$

と書ける。

この方程式も異なる3つの実数解をもつ。そこで $g$ の増減を見ると、

$$ g'(t)=3(t^2-d^2)=3(t-d)(t+d) $$

であるから、$t=-d,\ d$ で極値をとる。

さらに、三次関数 $g(t)$ は最高次係数が正で、異なる3つの実数解をもつので、極大値は正、極小値は負でなければならない。したがって

$$ g(-d)>0,\qquad g(d)<0 $$

である。

実際に計算すると、

$$ g(-d)=(-d)^3-3d^2(-d)+m=2d^3+m, $$

$$ g(d)=d^3-3d^2d+m=m-2d^3 $$

であるから、

$$ 2d^3+m>0,\qquad m-2d^3<0 $$

すなわち

$$ -2d^3<m<2d^3 $$

を得る。

そこで $t=\pm 2d$ における値を調べると、

$$ g(-2d)=(-2d)^3-3d^2(-2d)+m=-2d^3+m<0, $$

$$ g(2d)=(2d)^3-3d^2(2d)+m=2d^3+m>0 $$

となる。

一方、$g'(t)$ の符号より、$g(t)$ は

• $(-\infty,-d)$ で増加、
• $(-d,d)$ で減少、
• $(d,\infty)$ で増加

する。

したがって

• $g(-2d)<0<g(-d)$ より、1つの解は $(-2d,-d)$ にある。
• $g(-d)>0>g(d)$ より、1つの解は $(-d,d)$ にある。
• $g(d)<0<g(2d)$ より、1つの解は $(d,2d)$ にある。

よって、$g(t)=0$ の3つの実数解はすべて

$$ -2d<t<2d $$

を満たす。

最後に $t=x+a$、すなわち $x=t-a$ であったから、

$$ -a-2d<x<-a+2d $$

となる。ここで $d=\sqrt{a^2-b}$ であるので、3つの交点の $x$ 座標はすべて

$$ \left(-a-2\sqrt{a^2-b},\ -a+2\sqrt{a^2-b}\right) $$

に含まれる。

解説

この問題の核心は、三次関数を $x=-a$ を中心に見直すことである。$t=x+a$ とおくと三次式が

$$ t^3-3d^2t+m $$

という標準形になり、極値をとる点が $\pm d$ と明確になる。

3つの異なる実数解をもつためには、極大値が正、極小値が負である必要がある。この条件から $m$ の範囲が挟まれ、さらに $t=\pm 2d$ での符号が決まる。そこから各解がどの区間に入るかを単調性で確定できる。

前半の $a^2>b$ は、導関数が2つの異なる実数解をもつことから即座に出る基本事項である。

答え

$$ a^2>b $$

である。

また、$y=x^3+3ax^2+3bx$ と $y=c$ の3つの交点の $x$ 座標はすべて

$$ \left(-a-2\sqrt{a^2-b},\ -a+2\sqrt{a^2-b}\right) $$

に含まれる。