解説

方針・初手

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$ を用いて式を $\cos x$ の二次方程式に直す。

ただし、$x$ の範囲が $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \pi$ であるため、$\cos x=t$ の解の個数は $t$ の値によって異なる。したがって、

1. まず $\cos x=t$ とおいて $t$ の取りうる範囲を調べる。 2. 次に $2t^2-2t+1=a$ の解の個数を調べる。 3. 最後に、それぞれの $t$ に対して $x$ が何個対応するかを数える。

という順で整理するのが自然である。

解法1

与えられた方程式は

$$ \sin^2 x+3\cos^2 x-2\cos x-a=0 $$

である。

ここで $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ を用いると、

$$ 1-\cos^2 x+3\cos^2 x-2\cos x-a=0 $$

すなわち

$$ 2\cos^2 x-2\cos x+1-a=0 $$

となる。

そこで

$$ t=\cos x $$

とおくと、$-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \pi$ より

$$ -1\leqq t\leqq 1 $$

である。方程式は

$$ 2t^2-2t+1-a=0 $$

となる。

$a$ を $t$ の式で見る

これを変形すると

$$ a=2t^2-2t+1 =2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12 $$

である。

したがって、$-1\leqq t\leqq 1$ において $a$ の最小値は $t=\dfrac12$ のとき

$$ a=\frac12 $$

である。

また最大値は端点で調べればよく、

$$ a(1)=1,\qquad a(-1)=5 $$

より最大値は

$$ a=5 $$

である。

よって、まず実数 $t\in[-1,1]$ が存在するための条件は

$$ \frac12\leqq a\leqq 5 $$

である。

$\cos x=t$ の解の個数

次に、$-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \pi$ において $\cos x=t$ の解の個数を調べる。

**(i)**

$0<t<1$ のとき

$x$ は第1象限と第4象限に1つずつあり、解は $2$ 個である。

**(ii)**

$t=0$ のとき

$$ x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} $$

より、解は $2$ 個である。

**(iii)**

$-1\leqq t<0$ のとき

$x$ は $(\dfrac{\pi}{2},\pi]$ にただ1つあるので、解は $1$ 個である。

**(iv)**

$t=1$ のとき

$$ x=0 $$

のみで、解は $1$ 個である。

$a$ による分類

二次方程式

$$ 2t^2-2t+1-a=0 $$

の解は

$$ t=\frac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2} $$

である。

ここから場合分けする。

**(1)**

$a<\dfrac12$ または $a>5$ のとき

$t\in[-1,1]$ を満たす解は存在しないので、$x$ の解は $0$ 個である。

**(2)**

$a=\dfrac12$ のとき

$$ 2\left(t-\frac12\right)^2=0 $$

より

$$ t=\frac12 $$

のみである。これは $0<t<1$ であるから、対応する $x$ は $2$ 個である。

**(3)**

$\dfrac12<a<1$ のとき

$t=\dfrac{1\pm\sqrt{2a-1}}{2}$ はともに $0<t<1$ を満たす異なる2解である。

したがって、それぞれに対して $x$ は $2$ 個ずつ対応するので、解は合計 $4$ 個である。

**(4)**

$a=1$ のとき

方程式は

$$ 2t^2-2t=0 $$

すなわち

$$ 2t(t-1)=0 $$

より

$$ t=0,\ 1 $$

である。

$t=0$ に対して $x$ は $2$ 個、$t=1$ に対して $x$ は $1$ 個であるから、解は合計 $3$ 個である。

**(5)**

$1<a\leqq 5$ のとき

$t=\dfrac{1+\sqrt{2a-1}}{2}>1$ となるので不適である。

一方、

$$ t=\frac{1-\sqrt{2a-1}}{2} $$

のみが $-1\leqq t<0$ を満たす。したがって対応する $x$ は $1$ 個である。

以上より分類が完了する。

解説

この問題の要点は、方程式を $\cos x$ だけの式にしたあと、単に二次方程式の解の個数を見るだけでは不十分だという点にある。

実際、$\cos x=t$ の解の個数は、$t$ が正のときは $2$ 個、負のときは $1$ 個、さらに $t=0,1$ では端点の影響もあるため別扱いになる。したがって、$t$ の個数と $x$ の個数を切り分けて考えることが重要である。

また、

$$ a=2\left(t-\frac12\right)^2+\frac12 $$

と平方完成しておくと、$a$ の範囲がすぐに見えるので整理しやすい。

答え

方程式の解の個数は、$a$ の値によって次のように分類される。

$$ \begin{cases} 0\text{個} & \left(a<\dfrac12\ \text{または}\ a>5\right),\\[4pt] 2\text{個} & \left(a=\dfrac12\right),\\[4pt] 4\text{個} & \left(\dfrac12<a<1\right),\\[4pt] 3\text{個} & \left(a=1\right),\\[4pt] 1\text{個} & \left(1<a\leqq 5\right). \end{cases} $$