解説

方針・初手

面積条件から $p,q,r$ の間の関係式を立てる。

まず、三角形 $OPQ$ の面積が $\dfrac13$ であることから $pq$ の値が直ちに決まる。 次に、三角形 $PQR$ の面積が $\dfrac13$ であることを座標で表せば、$r$ も $p$ で表せる。

最後に

$$ \frac{CR}{OQ}=\frac{r}{q} $$

を $p$ の関数に直して、区間内で最大値・最小値を調べればよい。

解法1

**(1)**

$q,r$ を $p$ で表し、$p,q,r$ の範囲を求める。

三角形 $OPQ$ の面積は

$$ \frac12 pq $$

であるから、条件より

$$ \frac12 pq=\frac13 $$

すなわち

$$ pq=\frac23 $$

となる。したがって

$$ q=\frac{2}{3p} $$

である。

次に、三角形 $PQR$ の面積を求める。 点 $P(p,0),Q(0,q),R(r,1)$ より、

$$ \overrightarrow{PQ}=(-p,q),\qquad \overrightarrow{PR}=(r-p,1) $$

であるから、三角形 $PQR$ の面積は

$$ \frac12 \left|(-p)\cdot 1-q(r-p)\right| =\frac12 |pq-p-qr| $$

である。

ここで $pq=\dfrac23$ を用いると、

$$ pq-p-qr=\frac23-p-qr $$

となる。$p\ge \dfrac23,\ q\ge 0,\ r\ge 0$ なのでこれは $0$ 以下である。よって

$$ \frac12 (p+qr-pq)=\frac13 $$

すなわち

$$ p+qr-\frac23=\frac23 $$

より

$$ p+qr=\frac43 $$

したがって

$$ qr=\frac43-p $$

であり、

$$ r=\frac{\frac43-p}{q} $$

ここで $q=\dfrac{2}{3p}$ を代入すると

$$ r=\left(\frac43-p\right)\frac{3p}{2} =\frac{p(4-3p)}{2} $$

となる。

以上より

$$ q=\frac{2}{3p},\qquad r=\frac{p(4-3p)}{2} $$

である。

次に範囲を求める。

点 $P$ は辺 $OA$ 上にあるから

$$ 0\le p\le 1 $$

である。また $Q$ は辺 $OC$ 上にあるので $0\le q\le 1$ である。 $q=\dfrac{2}{3p}$ より $q\le 1$ だから

$$ \frac{2}{3p}\le 1 $$

すなわち

$$ p\ge \frac23 $$

である。したがって

$$ \frac23\le p\le 1 $$

となる。

このとき

$$ q=\frac{2}{3p} $$

は $p$ の増加とともに減少するので、

$$ \frac23\le q\le 1 $$

である。

また

$$ r=\frac{p(4-3p)}{2}=2p-\frac32 p^2 $$

であり、

$$ r'=2-3p $$

だから、区間 $\left[\dfrac23,1\right]$ では $r$ は減少する。よって

$$ r\left(\frac23\right)=\frac23,\qquad r(1)=\frac12 $$

より

$$ \frac12\le r\le \frac23 $$

である。

**(2)**

$\dfrac{CR}{OQ}$ の最大値・最小値を求める。

$C=(0,1),\ R=(r,1)$ より

$$ CR=r $$

また $O=(0,0),\ Q=(0,q)$ より

$$ OQ=q $$

である。したがって

$$ \frac{CR}{OQ}=\frac{r}{q} $$

となる。

ここで先に求めた式を代入すると

$$ \begin{aligned} \frac{r}{q} &= \frac{\frac{p(4-3p)}{2}}{\frac{2}{3p}} \\ \frac{3p^2(4-3p)}{4} \end{aligned} $$

よって

$$ f(p)=\frac{3p^2(4-3p)}{4} \qquad \left(\frac23\le p\le 1\right) $$

とおく。

微分すると

$$ f'(p)=\frac{3p(8-9p)}{4} $$

であるから、$f'(p)=0$ となるのは

$$ p=\frac89 $$

である。

したがって、$p=\dfrac89$ で極大となる。 端点も調べると、

$$ f\left(\frac23\right)=\frac23, \qquad f(1)=\frac34, \qquad f\left(\frac89\right)=\frac{64}{81} $$

である。

よって

$$ \frac{CR}{OQ} $$

の最大値は

$$ \frac{64}{81} $$

最小値は

$$ \frac23 $$

である。

解説

この問題の本質は、2つの面積条件を順に処理して自由変数を1つに落とすことである。

最初の三角形 $OPQ$ は座標軸に平行な辺をもつので、面積条件からすぐに $pq=\dfrac23$ が出る。 そのあと三角形 $PQR$ の面積条件を使えば $r$ も $p$ で表せる。

（2） では長さ $CR,\ OQ$ をそのまま座標差として読めるので、比は単純に $\dfrac{r}{q}$ になる。 ここまで来れば、あとは1変数関数の最大・最小の問題である。

答え

**(1)**

$$ q=\frac{2}{3p},\qquad r=\frac{p(4-3p)}{2} $$

範囲は

$$ \frac23\le p\le 1,\qquad \frac23\le q\le 1,\qquad \frac12\le r\le \frac23 $$

である。

**(2)**

$$ \frac{CR}{OQ} $$

の最大値は

$$ \frac{64}{81} $$

最小値は

$$ \frac23 $$

である。