解説

方針・初手

まず導関数を調べて増減を確定し，極値を求める。すると $x=\pm p$ における極大値・極小値の符号が，条件 $-2p^3<q<2p^3$ によって決まるので，方程式 $f(x)=0$ の実数解の個数と位置が分かる。

さらに （4） では，解を $x=2p\cos\theta$ とおくと

$$ f(2p\cos\theta)=2p^3(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+q =2p^3\cos3\theta+q $$

となることを用いる。三倍角公式 $4\cos^3\theta-3\cos\theta=\cos3\theta$ が核心である。

解法1

（1） 極値を求める。

$$ f(x)=x^3-3p^2x+q $$

より，

$$ f'(x)=3x^2-3p^2=3(x-p)(x+p) $$

である。したがって，$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=-p,\ p $$

のときである。

また，$f'(x)$ の符号は

• $x<-p$ で $f'(x)>0$
• $-p<x<p$ で $f'(x)<0$
• $x>p$ で $f'(x)>0$

となる。よって $f(x)$ は

• $(-\infty,-p)$ で増加
• $(-p,p)$ で減少
• $(p,\infty)$ で増加

する。したがって，

• $x=-p$ で極大
• $x=p$ で極小

をとる。

そのときの値は

$$ f(-p)=(-p)^3-3p^2(-p)+q=2p^3+q $$

$$ f(p)=p^3-3p^2p+q=q-2p^3 $$

である。

条件 $-2p^3<q<2p^3$ より，

$$ f(-p)=2p^3+q>0,\qquad f(p)=q-2p^3<0 $$

である。

したがって，極大値は $2p^3+q$，極小値は $q-2p^3$ である。

（2） 方程式 $f(x)=0$ が相異なる $3$ つの実数解をもつことを示す。

まず，

$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty $$

である。

さらに （1） より，

$$ f(-p)=2p^3+q>0,\qquad f(p)=q-2p^3<0 $$

であるから，連続性により

• 区間 $(-\infty,-p)$ に少なくとも $1$ 個
• 区間 $(-p,p)$ に少なくとも $1$ 個
• 区間 $(p,\infty)$ に少なくとも $1$ 個

解をもつ。

一方で，（1） の増減より，$f(x)$ はそれぞれの区間で単調であるから，各区間に解は高々 $1$ 個しか存在しない。

よって，$f(x)=0$ は

• $(-\infty,-p)$ に $1$ 個
• $(-p,p)$ に $1$ 個
• $(p,\infty)$ に $1$ 個

の，合計 $3$ 個の相異なる実数解をもつ。

（3） その $3$ つの解がすべて $-2p<x<2p$ を満たすことを示す。

まず，

$$ f(-2p)=(-2p)^3-3p^2(-2p)+q=-8p^3+6p^3+q=q-2p^3<0 $$

であり，また （1） より

$$ f(-p)=2p^3+q>0 $$

である。$f(x)$ は $(-\infty,-p)$ で増加するから，この区間にある解はただ $1$ つであり，その解は

$$ -2p<x<-p $$

を満たす。

次に，$(-p,p)$ にある解は明らかに

$$ -p<x<p $$

を満たすので，

$$ -2p<x<2p $$

である。

さらに，

$$ f(p)=q-2p^3<0 $$

および

$$ f(2p)=(2p)^3-3p^2(2p)+q=8p^3-6p^3+q=2p^3+q>0 $$

である。$f(x)$ は $(p,\infty)$ で増加するから，この区間にある解はただ $1$ つであり，その解は

$$ p<x<2p $$

を満たす。

以上より，$f(x)=0$ の $3$ つの解はすべて

$$ -2p<x<2p $$

を満たす。

**(4)**

$3$ つの解のうちの $1$ つを $2p\cos\theta$ と表したとき，他の解を求める。

（3） より，どの解も $-2p<x<2p$ を満たす。したがって，そのうちの $1$ つを

$$ x=2p\cos\theta\qquad (0<\theta<\pi) $$

と表すことができる。

これが解であるから，

$$ f(2p\cos\theta)=0 $$

である。計算すると，

$$ \begin{aligned} f(2p\cos\theta) &=(2p\cos\theta)^3-3p^2(2p\cos\theta)+q \\ &=8p^3\cos^3\theta-6p^3\cos\theta+q \\ &=2p^3(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+q \\ &=2p^3\cos3\theta+q \end{aligned} $$

となるので，

$$ 2p^3\cos3\theta+q=0 $$

すなわち

$$ \cos3\theta=-\frac{q}{2p^3} $$

を得る。

ここで

$$ \phi=\theta+\frac{2\pi}{3} $$

とおくと，

$$ \cos3\phi=\cos\left(3\theta+2\pi\right)=\cos3\theta $$

である。したがって，

$$ f(2p\cos\phi)=2p^3\cos3\phi+q=2p^3\cos3\theta+q=0 $$

となり，

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right) $$

も解である。

同様に，

$$ \psi=\theta+\frac{4\pi}{3} $$

とおくと，

$$ \cos3\psi=\cos\left(3\theta+4\pi\right)=\cos3\theta $$

より，

$$ f(2p\cos\psi)=2p^3\cos3\psi+q=2p^3\cos3\theta+q=0 $$

となる。よって，

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right) $$

も解である。

したがって，$2p\cos\theta$ が解であれば，

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right),\qquad 2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right) $$

も解となる。

解説

三次関数 $x^3-3p^2x+q$ は，$x=\pm p$ で極値をとる標準的な形である。まず導関数から増減を確定し，極大値が正，極小値が負になることを見ると，$x$ 軸と $3$ 回交わることがすぐに分かる。

また，$x=2p\cos\theta$ とおく処理は，三次方程式 $X^3-3X=\text{定数}$ 型で極めて有効である。これは

$$ (2\cos\theta)^3-3(2\cos\theta)=2\cos3\theta $$

という三倍角公式にちょうど対応しているためである。

答え

**(1)**

$f(x)$ が極値をとるのは

$$ x=-p,\ p $$

である。

$x=-p$ で極大値

$$ 2p^3+q $$

をとり，$x=p$ で極小値

$$ q-2p^3 $$

をとる。

**(2)**

方程式 $f(x)=0$ は，相異なる $3$ つの実数解をもつ。

**(3)**

その $3$ つの解はすべて

$$ -2p<x<2p $$

を満たす。

**(4)**

$3$ つの解のうちの $1$ つが

$$ 2p\cos\theta\qquad (0<\theta<\pi) $$

と表されるとき，他の $2$ つの解は

$$ 2p\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right),\qquad 2p\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right) $$

である。