解説

方針・初手

まず辺の長さの条件を $a,b,c$ の式に直す。

$OA=a,\ OB=b,\ OC=c$ であるから

$$ a+b+c=9 $$

であり，また

$$ AB^2=a^2+b^2,\quad BC^2=b^2+c^2,\quad AC^2=a^2+c^2 $$

より

$$ AB^2+BC^2+AC^2=2(a^2+b^2+c^2)=66 $$

すなわち

$$ a^2+b^2+c^2=33 $$

となる。

この2式から $b+c,\ bc$ を $a$ で表し，$b,c$ を2次方程式の解とみなして存在条件を調べる。体積は座標軸上の四面体なので $V=\dfrac{1}{6}abc$ を用いればよい。

解法1

**(1)**

$b+c,\ bc$ を $a$ で表す。

$a+b+c=9$ より

$$ b+c=9-a $$

である。

また $a^2+b^2+c^2=33$ より

$$ b^2+c^2=33-a^2 $$

であるから，

$$ (b+c)^2=b^2+c^2+2bc $$

に代入して

$$ (9-a)^2=(33-a^2)+2bc $$

を得る。よって

$$ 2bc=(9-a)^2-(33-a^2)=48-18a+2a^2 $$

したがって

$$ bc=a^2-9a+24 $$

である。

（2） 四面体 $OABC$ が存在するための $a$ の範囲を求める。

$b,c$ は

$$ t^2-(b+c)t+bc=0 $$

すなわち

$$ t^2-(9-a)t+(a^2-9a+24)=0 $$

の2解である。したがって $b,c$ が実数として存在するためには判別式が $0$ 以上でなければならない。

判別式を $D$ とすると，

$$ \begin{aligned} D&=(9-a)^2-4(a^2-9a+24) \\ &=81-18a+a^2-4a^2+36a-96 \\ &=-3a^2+18a-15 \\ &=-3(a-1)(a-5) \end{aligned} $$

である。よって

$$ D\geqq 0 \iff (a-1)(a-5)\leqq 0 \iff 1\leqq a\leqq 5 $$

となる。

さらに $b,c>0$ である必要があるが，

$$ b+c=9-a>0 $$

は $1\leqq a\leqq 5$ で確かに成り立つ。また

$$ bc=a^2-9a+24=\left(a-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0 $$

であるから，この範囲では $b,c$ はともに正である。

したがって求める範囲は

$$ 1\leqq a\leqq 5 $$

である。

（3） 体積 $V$ を $a$ で表す。

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は互いに直交するので，四面体 $OABC$ の体積は

$$ V=\frac{1}{6}abc $$

である。

ここで （1） より $bc=a^2-9a+24$ だから，

$$ V=\frac{1}{6}a(a^2-9a+24) $$

すなわち

$$ V=\frac{1}{6}(a^3-9a^2+24a) $$

である。

**(4)**

$V$ の最大値とそのときの $a,b,c$ を求める。

（2） より $1\leqq a\leqq 5$ であるから，

$$ f(a)=a^3-9a^2+24a $$

の最大値をこの区間で調べればよい。

微分すると

$$ f'(a)=3a^2-18a+24=3(a-2)(a-4) $$

である。したがって $a=2,4$ で極値をとる。

端点も含めて値を調べると，

$$ f(1)=16,\quad f(2)=20,\quad f(4)=16,\quad f(5)=20 $$

であるから，最大値は $20$ である。よって

$$ V_{\max}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3} $$

となる。

次にそのときの $a,b,c$ を求める。

**(i)**

$a=2$ のとき

$$ b+c=7,\quad bc=10 $$

より，$b,c$ は

$$ t^2-7t+10=0 $$

の解であるから

$$ (b,c)=(2,5)\ \text{または}\ (5,2) $$

である。

**(ii)**

$a=5$ のとき

$$ b+c=4,\quad bc=4 $$

より，$b,c$ は

$$ t^2-4t+4=0 $$

の解であるから

$$ (b,c)=(2,2) $$

である。

以上より，最大値を与えるのは $(a,b,c)$ が

$$ (5,2,2),\ (2,5,2),\ (2,2,5) $$

のいずれかの場合である。

解説

この問題の核は，距離条件をそのまま扱わず，まず

$$ a+b+c=9,\quad a^2+b^2+c^2=33 $$

という対称式に直すことである。

そのうえで $b,c$ を未知数とする2次方程式を作れば，和と積から存在条件が判別式で処理できる。体積も座標軸上の四面体であることから

$$ V=\frac{1}{6}abc $$

とすぐに表せるので，最終的には1変数 $a$ の最大化問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ b+c=9-a,\qquad bc=a^2-9a+24 $$

**(2)**

$$ 1\leqq a\leqq 5 $$

**(3)**

$$ V=\frac{1}{6}a(a^2-9a+24)=\frac{1}{6}(a^3-9a^2+24a) $$

**(4)**

$$ V_{\max}=\frac{10}{3} $$

そのとき

$$ (a,b,c)=(5,2,2),\ (2,5,2),\ (2,2,5) $$

である。