解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=(x^2-2)(x^2-4x+2) $$

をそのまま因数分解の形で見る。

（1） は各因子を $0$ とおけばよい。

（2） は （1） で得た実数解を境に符号を調べる。

（3） は $f(n)\le 1$ を

$$ f(n)-1\le 0 $$

と見て，$f(x)-1$ を因数分解するのが自然である。

解法1

まず

$$ f(x)=(x^2-2)(x^2-4x+2) $$

である。

（1） 方程式 $f(x)=0$ の実数解

$f(x)=0$ であるためには，少なくとも一方の因子が $0$ であればよい。

したがって

$$ x^2-2=0 $$

より

$$ x=\pm\sqrt{2} $$

また，

$$ x^2-4x+2=0 $$

より

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2} =\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2} =2\pm\sqrt{2} $$

を得る。

よって実数解は

$$ -\sqrt{2},\ 2-\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 2+\sqrt{2} $$

である。

小さい順に並べると，

$$ -\sqrt{2}<2-\sqrt{2}<\sqrt{2}<2+\sqrt{2} $$

である。

（2） 不等式 $f(n)\le 0$ を満たす整数 $n$

（1） より，$f(x)$ の実数解は

$$ -\sqrt{2},\ 2-\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 2+\sqrt{2} $$

であり，いずれも重解ではない。$f(x)$ は最高次係数が正の4次式であるから，符号は左から順に

$$ +\ ,\ -\ ,\ +\ ,\ -\ ,\ + $$

と変化する。

したがって

$$ f(x)\le 0 $$

となるのは

$$ -\sqrt{2}\le x\le 2-\sqrt{2} \quad \text{または} \quad \sqrt{2}\le x\le 2+\sqrt{2} $$

である。

ただし端点はすべて無理数なので，これらの区間に含まれる整数を調べればよい。

まず，

$$ -\sqrt{2}\approx -1.414,\qquad 2-\sqrt{2}\approx 0.586 $$

より，この区間に入る整数は

$$ -1,\ 0 $$

である。

また，

$$ \sqrt{2}\approx 1.414,\qquad 2+\sqrt{2}\approx 3.414 $$

より，この区間に入る整数は

$$ 2,\ 3 $$

である。

よって求める整数は

$$ n=-1,\ 0,\ 2,\ 3 $$

である。

（3） 不等式 $f(n)\le 1$ を満たす整数 $n$

$f(x)-1$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(x)-1 &=(x^2-2)(x^2-4x+2)-1 \\ &=x^4-4x^3+8x-5 \\ &=(x-1)^2(x^2-2x-5) \end{aligned} $$

よって

$$ f(n)\le 1 $$

は

$$ f(n)-1\le 0 $$

すなわち

$$ (n-1)^2(n^2-2n-5)\le 0 $$

と同値である。

ここで $(n-1)^2\ge 0$ であるから，この積が $0$ 以下となるのは，

• $n=1$ のとき
• または $n^2-2n-5\le 0$ のとき

である。

後者を解くと，

$$ n^2-2n-5\le 0 $$

$$ (n-1)^2\le 6 $$

となるので，

$$ 1-\sqrt{6}\le n\le 1+\sqrt{6} $$

である。

$\sqrt{6}\approx 2.449$ だから，

$$ -1.449\ldots \le n \le 3.449\ldots $$

となり，この範囲の整数は

$$ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 $$

である。

したがって，求める整数は

$$ n=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 $$

である。

解説

この問題の要点は，4次式を無理に展開して扱わず，因数分解の形を活かすことである。

（1） では各因子を $0$ とするだけで解が出る。

（2） では，求めた4つの実数解を境に符号が交互に変化することを用いれば，整数解は区間に入る整数を拾うだけで済む。

（3） は $f(n)\le 1$ をそのまま扱うより，$f(x)-1$ を因数分解して

$$ (x-1)^2(x^2-2x-5) $$

と見るのが決定的である。平方因子 $(x-1)^2$ は常に $0$ 以上なので，残りの2次式の符号に帰着できる。

答え

**(1)**

$f(x)=0$ の実数解は，小さい順に

$$ -\sqrt{2},\ 2-\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 2+\sqrt{2} $$

である。

**(2)**

$f(n)\le 0$ を満たす整数は

$$ n=-1,\ 0,\ 2,\ 3 $$

である。

**(3)**

$f(n)\le 1$ を満たす整数は

$$ n=-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3 $$

である。