解説

方針・初手

（1） 極値をとる $x$ は、導関数 $f'(x)$ が $0$ になる点である。したがって、まず $f'(x)$ を求めて方程式 $f'(x)=0$ を解く。

（2） 3次方程式が異なる3つの整数解をもつなら、その3根を $\alpha,\beta,\gamma$ とおくと、係数と根の関係

$$ \alpha+\beta+\gamma=3,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-4 $$

が成り立つ。これを用いて整数解の組を絞る。

解法1

（1） 極値をとるときの $x$

$$ f(x)=x^3-3x^2-4x+k $$

より、

$$ f'(x)=3x^2-6x-4 $$

である。

したがって、極値をとる $x$ は

$$ 3x^2-6x-4=0 $$

を満たす。これを解くと、

$$ x=\frac{6\pm\sqrt{36+48}}{6} =\frac{6\pm\sqrt{84}}{6} =\frac{6\pm2\sqrt{21}}{6} =1\pm\frac{\sqrt{21}}{3} $$

となる。

よって、$f(x)$ が極値をとるときの $x$ は

$$ x=1-\frac{\sqrt{21}}{3},\qquad 1+\frac{\sqrt{21}}{3} $$

である。

（2） 異なる3つの整数解をもつときの $k$ と整数解

方程式 $f(x)=0$ の3つの異なる整数解を $\alpha,\beta,\gamma$ とする。

すると、

$$ f(x)=x^3-3x^2-4x+k $$

の係数と根の関係より、

$$ \alpha+\beta+\gamma=3,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-4 $$

が成り立つ。

ここで、和が $3$ になることに注目して、$\alpha,\beta,\gamma$ を $1$ だけずらして

$$ \alpha=1+a,\qquad \beta=1+b,\qquad \gamma=1+c $$

とおくと、

$$ a+b+c=0 $$

である。

また、

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =(1+a)(1+b)+(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a) $$

より、

$$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha =3+2(a+b+c)+(ab+bc+ca) =3+(ab+bc+ca) $$

となる。これが $-4$ に等しいから、

$$ ab+bc+ca=-7 $$

を得る。

さらに $a+b+c=0$ より $c=-(a+b)$ であるから、

$$ ab+b(-(a+b))+(-(a+b))a=-7 $$

すなわち

$$ -(a^2+ab+b^2)=-7 $$

となる。よって、

$$ a^2+ab+b^2=7 $$

である。

左辺が $7$ になる整数解を探すと、

$$ a=1,\quad b=2 $$

で

$$ 1^2+1\cdot2+2^2=1+2+4=7 $$

となる。このとき

$$ c=-(1+2)=-3 $$

である。

したがって、

$$ (a,b,c)=(1,2,-3) $$

の順序を入れ替えたものがすべてであり、

$$ (\alpha,\beta,\gamma)=(2,3,-2) $$

の順序を入れ替えたものとなる。

よって整数解は

$$ x=-2,\ 2,\ 3 $$

である。

このとき

$$ f(x)=(x+2)(x-2)(x-3) $$

と因数分解できるから、

$$ (x+2)(x-2)(x-3)=x^3-3x^2-4x+12 $$

である。

したがって、

$$ k=12 $$

である。

解説

（1） は微分して $f'(x)=0$ を解くだけである。3次関数の極値の位置は導関数で決まるので、定数項 $k$ は影響しない点が重要である。

（2） は整数解を直接探し回るより、係数と根の関係を使うのが本筋である。特に、根の和が $3$ なので $1$ を基準にずらすと、和が $0$ になって計算が整理される。そこから

$$ a^2+ab+b^2=7 $$

という形に持ち込めば、整数解はすぐに限られる。

答え

**(1)**

$$ x=1-\frac{\sqrt{21}}{3},\qquad 1+\frac{\sqrt{21}}{3} $$

**(2)**

$$ k=12 $$

整数解は

$$ x=-2,\ 2,\ 3 $$

である。