解説

方針・初手

$f(x)$ は $a$ を固定すれば $x$ の3次関数である。したがって極大・極小は $f'(x)$ の符号変化を調べればよい。

まず $s=\sin a$ とおくと、$-1\leqq s\leqq 1$ であり、式は

$$ f(x)=2x^3-(6+3s)x^2+12sx+s^3+6s+5 $$

となる。これを微分して因数分解すると、極値を与える $x$ が直ちに分かる。

解法1

$s=\sin a$ とおく。

このとき

$$ f'(x)=6x^2-2(6+3s)x+12s $$

であるから、

$$ f'(x)=6{x^2-(2+s)x+2s}=6(x-s)(x-2) $$

と因数分解できる。

ここで $-1\leqq s\leqq 1$ より

$$ s<2 $$

である。したがって、$f'(x)$ の符号は

• $x<s$ で $f'(x)>0$
• $s<x<2$ で $f'(x)<0$
• $x>2$ で $f'(x)>0$

となる。

よって $x=s$ で極大、$x=2$ で極小である。したがって、$f(x)$ はただ1つの極大値をもち、その極大値 $M(a)$ は $x=s=\sin a$ のときの値である。

そこで $x=s$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} M(a) &=f(s) \\ &=2s^3-(6+3s)s^2+12s^2+s^3+6s+5 \\ &=2s^3-6s^2-3s^3+12s^2+s^3+6s+5 \\ &=6s^2+6s+5 \end{aligned} $$

となる。すなわち

$$ M(a)=6\sin^2 a+6\sin a+5 $$

である。

次に、$0\leqq a<2\pi$ における $M(a)$ の最大・最小を求める。

$u=\sin a$ とおくと、$-1\leqq u\leqq 1$ であり、

$$ M(a)=6u^2+6u+5 $$

である。これを平方完成すると

$$ M(a)=6\left(u+\frac12\right)^2+\frac72 $$

となる。

したがって最小値は

$$ u=-\frac12 $$

のときにとり、

$$ M_{\min}=\frac72 $$

である。$\sin a=-\dfrac12$ より

$$ a=\frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} $$

である。

また、$6u^2+6u+5$ は上に開く2次関数であるから、区間 $[-1,1]$ での最大値は端点で比較すればよい。

$$ M(1)=6+6+5=17,\qquad M(-1)=6-6+5=5 $$

より最大値は $17$ であり、これは $u=1$、すなわち

$$ a=\frac{\pi}{2} $$

のときにとる。

解説

この問題の要点は、$a$ を固定して $x$ の関数として見ることである。すると微分係数が

$$ f'(x)=6(x-\sin a)(x-2) $$

ときれいに因数分解でき、極大を与える点が $x=\sin a$、極小を与える点が $x=2$ と直ちに分かる。

その後は、極大値 $M(a)$ を $\sin a$ の2次式として表し、$\sin a\in[-1,1]$ を用いて最大・最小を調べればよい。3次関数の極値問題と、三角関数の値域を組み合わせる典型題である。

答え

**(1)**

$f(x)$ はただ1つの極大値をもち、その極大値は

$$ M(a)=6\sin^2 a+6\sin a+5 $$

である。

**(2)**

$$ M(a)=6\left(\sin a+\frac12\right)^2+\frac72 $$

より、最小値は

$$ \frac72 $$

であり、そのとき

$$ a=\frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} $$

である。

また、最大値は

$$ 17 $$

であり、そのとき

$$ a=\frac{\pi}{2} $$

である。