解説

方針・初手

$\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いて、$\sin x$ についての2次方程式に直すのが基本方針である。

$\sin x=t$ とおけば $-1\le t\le 1$ であり、まずこの範囲に入る $t$ の個数を調べ、そのあと各 $t$ に対して $x$ が何個対応するかを数えればよい。

解法1

与式

$$ \cos^2 x+2a\sin x-a-1=0 $$

に $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を代入すると、

$$ 1-\sin^2 x+2a\sin x-a-1=0 $$

すなわち

$$ \sin^2 x-2a\sin x+a=0 $$

を得る。

ここで

$$ t=\sin x \quad (-1\le t\le 1) $$

とおくと、

$$ t^2-2at+a=0 $$

となる。

したがって、$-1\le t\le 1$ を満たす解 $t$ の個数を調べればよい。

また、$\sin x=t$ の解の個数は

• $-1<t<1$ なら $2$ 個
• $t=1,,-1$ なら $1$ 個

である。

（i） $0<a<1$ のとき

$t$ についての2次方程式の判別式は

$$ D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot a=4a(a-1) $$

である。

$0<a<1$ では $a(a-1)<0$ だから $D<0$ となり、$t$ に実数解をもたない。

よって、$x$ の実数解も存在しない。

（ii） $a=0$ のとき

$$ t^2=0 $$

より

$$ t=0 $$

である。

したがって

$$ \sin x=0 $$

より

$$ x=0,\ \pi $$

となるので、解は $2$ 個である。

（iii） $a=1$ のとき

$$ t^2-2t+1=0 $$

より

$$ (t-1)^2=0 $$

だから

$$ t=1 $$

である。

したがって

$$ \sin x=1 $$

より

$$ x=\frac{\pi}{2} $$

のみであり、解は $1$ 個である。

（iv） $a>1$ のとき

このとき $D>0$ なので、$t$ は2つの異なる実数解をもつ。

その積は

$$ t_1t_2=a>1 $$

である。もし両方とも $1$ 以下なら $t_1t_2\le 1$ となって矛盾するから、少なくとも一方は $1$ より大きい。

また、解の公式より小さい方の解は

$$ t_1=a-\sqrt{a(a-1)} $$

であり、$a>1$ では $\sqrt{a(a-1)}<a$ だから $t_1>0$ である。

したがって $t_1$ は $0<t_1<1$ を満たし、もう一方は $1$ より大きいので不適である。

よって、条件 $-1\le t\le 1$ を満たす $t$ はちょうど1個であり、それは $0<t<1$ にある。したがって対応する $x$ は $2$ 個である。

（v） $a<0$ のとき

このときも $D>0$ なので、$t$ は2つの異なる実数解をもつ。

その積は

$$ t_1t_2=a<0 $$

であるから、1つは正、1つは負である。

まず正の解を

$$ t_+=a+\sqrt{a(a-1)} $$

とする。$a<0$ では $\sqrt{a(a-1)}>-a$ だから $t_+>0$ である。

さらに

$$ t_+<\frac12 $$

を示す。これは

$$ a+\sqrt{a(a-1)}<\frac12 $$

すなわち

$$ \sqrt{a(a-1)}<\frac12-a $$

と同値であるが、右辺は正であり、両辺を2乗すると

$$ a(a-1)<\left(\frac12-a\right)^2 $$

となる。右辺を展開すると

$$ a^2-a<a^2-a+\frac14 $$

であり、これは明らかに成り立つ。よって

$$ 0<t_+<\frac12 $$

であり、$t_+$ は常に適する。

次に負の解を

$$ t_-=a-\sqrt{a(a-1)} $$

とする。この解が $-1$ 以上である条件を調べる。

$$ t_-\ge -1 $$

は

$$ a-\sqrt{a(a-1)}\ge -1 $$

すなわち

$$ a+1\ge \sqrt{a(a-1)} $$

と同値である。これが成り立つためにはまず $a+1\ge 0$ が必要であり、そのもとで両辺を2乗すると

$$ (a+1)^2\ge a(a-1) $$

$$ a^2+2a+1\ge a^2-a $$

$$ 1+3a\ge 0 $$

すなわち

$$ a\ge -\frac13 $$

を得る。

したがって、

• $a<-\dfrac13$ では $t_-<-1$ となり、適する $t$ は $t_+$ のみ
• $a=-\dfrac13$ では $t_-=-1$ となる
• $-\dfrac13<a<0$ では $-1<t_-<0$ となる

よって $x$ の個数は、

• $a<-\dfrac13$ のとき、$0<t_+<1$ に対応する $2$ 個
• $a=-\dfrac13$ のとき、$t=-1$ から $1$ 個、$0<t_+<1$ から $2$ 個、合計 $3$ 個
• $-\dfrac13<a<0$ のとき、$-1<t_-<0,\ 0<t_+<1$ の2つに対しそれぞれ $2$ 個ずつで、合計 $4$ 個

となる。

解説

この問題の本質は、三角方程式をそのまま扱うことではなく、$\sin x$ を1つの文字 $t$ とみなして $-1\le t\le 1$ の範囲で2次方程式を調べることである。

そのうえで、$t$ の個数と $x$ の個数は一致しない点に注意が必要である。特に、

• $-1<t<1$ なら通常は $x$ が $2$ 個
• $t=\pm 1$ なら $x$ は $1$ 個

となるため、最後は必ず $\sin x=t$ の解の個数に戻して数えなければならない。

また、$a=-\dfrac13$ で負の解がちょうど $t=-1$ になることが、個数が $4$ 個から $3$ 個へ変わる境目になっている。

答え

$0\le x<2\pi$ における異なる実数解の個数は、

$$ \begin{cases} 2 & \left(a<-\dfrac13\right),\\[4pt] 3 & \left(a=-\dfrac13\right),\\[4pt] 4 & \left(-\dfrac13<a<0\right),\\[4pt] 2 & \left(a=0\right),\\[4pt] 0 & \left(0<a<1\right),\\[4pt] 1 & \left(a=1\right),\\[4pt] 2 & \left(a>1\right). \end{cases} $$