解説

方針・初手

$t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$ を導入しているので，まず $2\sqrt{3}\sin2\theta-2\cos2\theta+4$ を $t$ で表す。

その後，$t$ 自身を三角関数の合成で

$$ t=2\sin(\theta+30^\circ) $$

と書けば，$t$ の範囲と，方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数が整理しやすい。

解法1

**(1)**

$f(\theta)=2t^2-4at$ を示す。

$t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$ であるから，

$$ t^2=(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)^2 =3\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta $$

である。ここで

$$ 3\sin^2\theta+\cos^2\theta =2\sin^2\theta+(\sin^2\theta+\cos^2\theta) =2\sin^2\theta+1 $$

より，

$$ t^2=2\sin^2\theta+1+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta $$

となる。したがって

$$ 2t^2 =4\sin^2\theta+2+4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta $$

である。

一方，

$$ 2\sqrt{3}\sin2\theta-2\cos2\theta+4 =4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+4 $$

であり，これを整理すると

$$ \begin{aligned} 4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta-2\cos^2\theta+2\sin^2\theta+4 &=4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta-2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+4 \\ &=4\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+4\sin^2\theta+2 \\ &=2t^2 \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ f(\theta)=2\sqrt{3}\sin2\theta-2\cos2\theta-4a(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)+4 $$

に $t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta$ を用いれば，

$$ f(\theta)=2t^2-4at $$

となる。

**(2)**

$t$ の値の範囲を求める。

$t$ を合成すると，

$$ t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta =2\sin(\theta+30^\circ) $$

である。

$0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ より，

$$ 30^\circ\leqq\theta+30^\circ\leqq210^\circ $$

である。この区間で $\sin$ の最大値は $1$，最小値は $-\dfrac12$ であるから，

$$ -1\leqq t\leqq2 $$

となる。

（3） 方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数を求める。

（1） より

$$ f(\theta)=2t^2-4at=2t(t-2a) $$

であるから，

$$ f(\theta)=0 \iff t=0 \ \text{または}\ t=2a $$

となる。

まず $t=0$ のときは

$$ 2\sin(\theta+30^\circ)=0 $$

より

$$ \sin(\theta+30^\circ)=0 $$

であり，$30^\circ\leqq\theta+30^\circ\leqq210^\circ$ から

$$ \theta+30^\circ=180^\circ $$

のみが成り立つ。したがって

$$ \theta=150^\circ $$

であり，$t=0$ に対応する解は常に $1$ 個である。

次に $t=2a$ に対応する解の個数を調べる。$t=2\sin(\theta+30^\circ)$ であり， $30^\circ\leqq\theta+30^\circ\leqq210^\circ$ だから，この区間でのグラフの形より，

• $-1\leqq t<1$ のときは解は $1$ 個
• $t=1$ のときは解は $2$ 個
• $1<t<2$ のときは解は $2$ 個
• $t=2$ のときは解は $1$ 個
• 範囲外では解は $0$ 個

である。

これを $t=2a$ に当てはめると，$f(\theta)=0$ の解の個数は次のようになる。ただし $a=0$ のときは $t=0$ と $t=2a$ が一致するので重複して数えない。

$$ \begin{cases} 1 & (a<-\dfrac12) \\ 2 & (a=-\dfrac12) \\ 2 & (-\dfrac12<a<0) \\ 1 & (a=0) \\ 2 & (0<a<\dfrac12) \\ 3 & (a=\dfrac12) \\ 3 & (\dfrac12<a<1) \\ 2 & (a=1) \\ 1 & (a>1) \end{cases} $$

解説

この問題の要点は，最初に与えられた

$$ t=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta $$

を使って $f(\theta)$ を $t$ の二次式に落とすことである。これにより，三角方程式を直接扱うのでなく，

$$ 2t(t-2a)=0 $$

という一次式の積に変えられる。

さらに $t=2\sin(\theta+30^\circ)$ と合成すれば，$t$ の範囲と，各 $t$ に対する $\theta$ の個数が視覚的に分かる。特に，区間が $30^\circ$ から $210^\circ$ であるため，$t$ の値によって解の個数が $1$ 個または $2$ 個に変わる点が重要である。

答え

**(1)**

$$ f(\theta)=2t^2-4at $$

**(2)**

$$ -1\leqq t\leqq2 $$

**(3)**

方程式 $f(\theta)=0$ の解の個数は

$$ \begin{cases} 1 & (a<-\dfrac12) \\ 2 & (-\dfrac12\leqq a<0) \\ 1 & (a=0) \\ 2 & (0<a<\dfrac12) \\ 3 & (\dfrac12\leqq a<1) \\ 2 & (a=1) \\ 1 & (a>1) \end{cases} $$

である。