解説

方針・初手

$3^x$ と $3^{-x}$ が混在しているので、まず $a=3^x,(>0)$ とおいて整理するのが自然である。

すると

$$ t=4\cdot 3^x+3^{-x}=4a+\frac{1}{a} $$

となり、$f(x)$ も $a,\dfrac1a$ を用いて整理できる。 そのうえで $f(x)$ を $t$ の式に直し、最後は「1つの $t$ に対して $x$ が何個対応するか」を見ればよい。

解法1

**(1)**

$t$ の最小値とそのときの $x$ を求める。

$a=3^x,(>0)$ とおくと

$$ t=4a+\frac{1}{a} $$

である。

相加平均・相乗平均の関係より

$$ 4a+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{4a\cdot \frac{1}{a}}=4 $$

である。等号成立条件は

$$ 4a=\frac{1}{a} $$

すなわち

$$ 4a^2=1 $$

より

$$ a=\frac12 $$

である。$a=3^x$ だから

$$ 3^x=\frac12 $$

となり、

$$ x=\log_3\frac12=-\log_3 2 $$

である。

したがって、$t$ の最小値は $4$、そのときの $x$ は $-\log_3 2$ である。

**(2)**

$f(x)$ を $t$ の式で表す。

$a=3^x,(>0)$ とおくと

$$ 9^x=a^2,\qquad 3^{x+2}=9a,\qquad 3^{-x+2}=\frac{9}{a},\qquad 9^{-x}=\frac{1}{a^2} $$

であるから、

$$ f(x)=16a^2-36a-\frac{9}{a}+\frac{1}{a^2} $$

となる。

一方、

$$ t=4a+\frac{1}{a} $$

より

$$ t^2=\left(4a+\frac{1}{a}\right)^2=16a^2+8+\frac{1}{a^2} $$

であり、

$$ 9t=36a+\frac{9}{a} $$

である。したがって

$$ t^2-9t-8 =16a^2+8+\frac{1}{a^2}-36a-\frac{9}{a}-8 =16a^2-36a-\frac{9}{a}+\frac{1}{a^2} =f(x) $$

となる。

ゆえに

$$ f(x)=t^2-9t-8 $$

である。

（3） 方程式 $f(x)=k$ の相異なる実数解の個数が $3$ 個であるとき、$k$ とその3つの実数解を求める。

（2） より

$$ f(x)=k \iff t^2-9t-8=k $$

である。すなわち

$$ t^2-9t-(k+8)=0 $$

を満たす $t$ を考えればよい。

また （1） より、$t$ の取りうる値は

$$ t\geqq 4 $$

である。

さらに、$t=4a+\dfrac1a$ に対して $a>0$ を考えると、

$$ 4a+\frac{1}{a}=t \iff 4a^2-ta+1=0 $$

である。この二次方程式は

• $t=4$ のとき重解をもち、$a=\dfrac12$ の1個
• $t>4$ のとき異なる正の2解をもつ

したがって、$t=4$ に対しては $x$ は1個、$t>4$ に対しては $x$ は2個対応する。

よって、$f(x)=k$ の実数解がちょうど3個となるには、$t$ の解が

• 1つは $t=4$
• もう1つは $t>4$

でなければならない。

そこで $t=4$ を

$$ t^2-9t-(k+8)=0 $$

に代入すると

$$ 16-36-(k+8)=0 $$

より

$$ k=-28 $$

を得る。

このとき

$$ t^2-9t-(k+8)=t^2-9t+20=(t-4)(t-5) $$

となるから、$t=4,5$ である。

次に、それぞれに対する $x$ を求める。

まず $t=4$ のときは、（1） より

$$ x=-\log_3 2 $$

である。

次に $t=5$ のとき

$$ 4\cdot 3^x+3^{-x}=5 $$

であり、$a=3^x$ とおくと

$$ 4a+\frac1a=5 $$

すなわち

$$ 4a^2-5a+1=0 $$

である。これを因数分解すると

$$ (4a-1)(a-1)=0 $$

より

$$ a=\frac14,\ 1 $$

したがって

$$ 3^x=\frac14,\ 1 $$

より

$$ x=\log_3\frac14=-\log_3 4,\qquad x=0 $$

となる。

以上より、実数解は

$$ x=-\log_3 4,\ -\log_3 2,\ 0 $$

の3個である。

解説

この問題の本質は、$3^x$ と $3^{-x}$ を別々に扱わず、$a=3^x$ とおいて $a,\dfrac1a$ の形にまとめることである。

とくに

$$ t=4a+\frac1a $$

とおいたあと、

$$ f(x)=16a^2-36a-\frac9a+\frac1{a^2} $$

をそのまま眺めるのではなく、

$$ t^2=\left(4a+\frac1a\right)^2 $$

を作ると $f(x)$ が二次式 $t^2-9t-8$ に落ちる。この変形が中心である。

また （3） では、$t$ の値が1つ決まったときに $x$ が何個対応するかを見る必要がある。 $t=4$ は最小値なので $x$ が1個、$t>4$ なら左右に2個出る。この対応関係を見落とすと、実数解の個数を正しく数えられない。

答え

**(1)**

$$ t_{\min}=4,\qquad x=-\log_3 2 $$

**(2)**

$$ f(x)=t^2-9t-8 $$

**(3)**

$$ k=-28 $$

このとき $f(x)=k$ の3つの実数解は

$$ x=-\log_3 4,\ -\log_3 2,\ 0 $$

である。