解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=3x^4-4(a-1)x^3-6ax^2 $$

とおく。

最小値をとる点は、$f'(x)=0$ を満たす点のうち極小となる点である。したがって、まず $f'(x)$ を因数分解して極値をとる候補を調べ、そのうえで「極小となる点がちょうど2つあり、しかもその2点での関数値が等しい」条件を課せばよい。

解法1

$f'(x)$ を求めると

$$ f'(x)=12x^3-12(a-1)x^2-12ax =12x{x^2-(a-1)x-a} $$

である。

ここで

$$ x^2-(a-1)x-a=x^2-ax+x-a=(x-a)(x+1) $$

より

$$ f'(x)=12x(x-a)(x+1) $$

となる。

したがって、停留点は

$$ x=-1,\ 0,\ a $$

である。ただし、$a=-1,0$ のときは重なる。

次に、$a$ の値によって極小となる点を調べる。

（i） $a<-1$ のとき

このとき停留点の並びは

$$ a<-1<0 $$

であり、$f'(x)=12x(x-a)(x+1)$ の符号は

$$ -\ \to\ +\ \to\ -\ \to\ + $$

と変化する。よって極小となるのは $x=a,0$ の2点である。

この2点がともに最小値をとるためには

$$ f(a)=f(0) $$

が必要十分である。

ここで

$$ f(0)=0 $$

また

$$ \begin{aligned} f(a) &=3a^4-4(a-1)a^3-6a\cdot a^2 \\ &=3a^4-4a^4+4a^3-6a^3 \\ &=-a^4-2a^3 \\ &=-a^3(a+2) \end{aligned} $$

だから、

$$ -a^3(a+2)=0 $$

より

$$ a=0,\ -2 $$

を得る。このうち $a<-1$ を満たすのは

$$ a=-2 $$

のみである。

（ii） $-1<a<0$ のとき

このとき停留点の並びは

$$ -1<a<0 $$

であり、$f'(x)$ の符号は

$$ -\ \to\ +\ \to\ -\ \to\ + $$

と変化する。よって極小となるのは $x=-1,0$ の2点である。

したがって

$$ f(-1)=f(0) $$

が必要十分である。

まず

$$ f(0)=0 $$

また

$$ \begin{aligned} f(-1) &=3(-1)^4-4(a-1)(-1)^3-6a(-1)^2 \\ &=3+4(a-1)-6a \\ &=-1-2a \end{aligned} $$

だから

$$ -1-2a=0 $$

より

$$ a=-\frac12 $$

を得る。これは確かに $-1<a<0$ を満たす。

（iii） $a>0$ のとき

このとき停留点の並びは

$$ -1<0<a $$

であり、$f'(x)$ の符号は

$$ -\ \to\ +\ \to\ -\ \to\ + $$

と変化する。よって極小となるのは $x=-1,a$ の2点である。

したがって

$$ f(-1)=f(a) $$

が必要十分である。

すでに

$$ f(-1)=-1-2a,\qquad f(a)=-a^3(a+2) $$

であるから

$$ -1-2a=-a^3(a+2) $$

すなわち

$$ a^4+2a^3-2a-1=0 $$

を解けばよい。

これを因数分解すると

$$ a^4+2a^3-2a-1=(a-1)(a+1)^3 $$

であるから

$$ (a-1)(a+1)^3=0 $$

となる。$a>0$ より

$$ a=1 $$

を得る。

（iv） $a=-1,0$ のとき

**$a=-1$** のとき

$$ f'(x)=12x(x+1)^2 $$

であり、符号は $x<0$ で負、$x>0$ で正となるので、最小値をとるのは $x=0$ の1点のみである。

**$a=0$** のとき

$$ f'(x)=12x^2(x+1) $$

であり、符号は $x<-1$ で負、$x>-1$ で正となるので、最小値をとるのは $x=-1$ の1点のみである。

したがって、これらは条件を満たさない。

以上より、条件を満たす $a$ は

$$ a=-2,\ -\frac12,\ 1 $$

である。

解説

この問題の本質は、「最小値をとる $x$ がちょうど2つ」という条件を、微分して得られる極小点の配置に読み替えることである。

$f'(x)=12x(x-a)(x+1)$ ときれいに因数分解できるため、停留点は常に $-1,0,a$ である。あとは $a$ の位置によって、どの2点が極小になるかを整理し、その2点での関数値が一致する条件を立てればよい。

「極小点が2つある」だけでは不十分であり、「その2点での値が等しく、しかもそれが全体の最小値である」ことまで確認する必要がある点が重要である。

答え

$$ a=-2,\ -\frac12,\ 1 $$

である。