解説

方針・初手

正方形を座標平面上に置き、$AP,\ AQ,\ DR$ を文字で表して面積条件を式にする。

三角形 $APQ$ の面積条件から $AP\cdot AQ$ が定まり、三角形 $PQR$ の面積条件から $DR$ を $AP,\ AQ$ で表せる。最後に $\dfrac{DR}{AQ}$ を 1 変数関数にして最大・最小を調べればよい。

解法1

正方形を

$$ A(0,0),\ B(1,0),\ C(1,1),\ D(0,1) $$

とおく。

点 $P,Q,R$ はそれぞれ辺 $AB,AD,CD$ 上にあるから、

$$ P=(x,0),\quad Q=(0,y),\quad R=(z,1) $$

とおける。ただし

$$ x=AP,\quad y=AQ,\quad z=DR $$

であり、

$$ 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1,\quad 0\le z\le 1 $$

を満たす。

まず、$\triangle APQ$ の面積が $\dfrac13$ であるから、

$$ \frac12 xy=\frac13 $$

よって、

$$ xy=\frac23 $$

である。

次に、$\triangle PQR$ の面積を座標で表す。 その面積は

$$ \frac12 \left| \begin{vmatrix} -x & y\\ z-x & 1 \end{vmatrix} \right| =\frac12 | -x-y(z-x) | =\frac12 |xy-x-yz| $$

である。

ここで $xy=\dfrac23$ を用いると、

$$ \frac12 \left| \frac23-x-yz \right|=\frac13 $$

となる。

一方、$x\ge \dfrac23$ である。実際、$y\le 1$ かつ $xy=\dfrac23$ より

$$ x\ge \frac23 $$

である。したがって

$$ x+yz-\frac23 \ge 0 $$

なので、絶対値を外して

$$ \frac12 \left(x+yz-\frac23\right)=\frac13 $$

すなわち

$$ x+yz=\frac43 $$

を得る。

よって

$$ yz=\frac43-x $$

である。さらに $y=\dfrac{2}{3x}$ だから、

$$ z=\frac{\frac43-x}{y} =\left(\frac43-x\right)\frac{3x}{2} =2x-\frac32 x^2 $$

となる。

したがって求める比は

$$ \frac{DR}{AQ}=\frac{z}{y} =\left(2x-\frac32x^2\right)\frac{3x}{2} =3x^2-\frac94 x^3 $$

である。これを

$$ f(x)=3x^2-\frac94 x^3 $$

とおくと、$x$ の範囲は

$$ \frac23 \le x\le 1 $$

である。

ここで微分すると、

$$ f'(x)=6x-\frac{27}{4}x^2 =x\left(6-\frac{27}{4}x\right) $$

となるので、$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=\frac89 $$

である。

したがって、区間 $\left[\dfrac23,1\right]$ において

• $x=\dfrac89$ で最大
• 端点で最小候補

となる。

実際に値を計算すると、

$$ f\left(\frac23\right) =3\cdot \frac49-\frac94\cdot \frac{8}{27} =\frac43-\frac23 =\frac23 $$

$$ f(1)=3-\frac94=\frac34 $$

$$ f\left(\frac89\right) =3\cdot \frac{64}{81}-\frac94\cdot \frac{512}{729} =\frac{64}{27}-\frac{128}{81} =\frac{64}{81} $$

である。

よって

$$ \min \frac{DR}{AQ}=\frac23,\qquad \max \frac{DR}{AQ}=\frac{64}{81} $$

となる。

解説

面積条件が 2 つあるので、長さをそのまま文字で置いて式に落とすのが自然である。

特に $\triangle APQ$ は直角三角形なので $xy=\dfrac23$ がすぐに出る。この 1 本で $AQ$ を $AP$ の式にでき、さらに $\triangle PQR$ の面積条件から $DR$ も $AP$ の式になる。すると求める比は 1 変数関数になり、あとは微分で処理できる。

座標を置いたあとに問題がほぼ計算問題へ還元される典型例である。

答え

$$ \frac{DR}{AQ}\text{ の最大値は } \frac{64}{81},\qquad \text{最小値は } \frac23 $$

である。