解説

方針・初手

$f(x)=x^3-3ax$ は奇関数であるから，$[-1,1]$ における $|f(x)|$ の最大値は $[0,1]$ で調べれば十分である。

したがって，まず $[0,1]$ における $f(x)$ の増減を $f'(x)$ で調べ，そのうえで端点値と極値を比較して $M$ を $a$ の式で表す。

解法1

$f(x)=x^3-3ax$ とおくと，

$$ f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a) $$

である。

$f$ は奇関数なので，

$$ M=\max_{-1\le x\le 1}|f(x)|=\max_{0\le x\le 1}|f(x)| $$

である。

（i） $a<0$ のとき

このとき $x^2-a>0$ であるから，$0\le x\le 1$ で常に $f'(x)>0$ である。よって $f$ は $[0,1]$ で単調増加であり，

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=1-3a>0 $$

より，

$$ M=f(1)=1-3a\ge 1 $$

である。

（ii） $0\le a\le 1$ のとき

このとき $x=\sqrt a$ が $[0,1]$ に入り，

$$ f'(x)<0\quad (0\le x<\sqrt a),\qquad f'(x)>0\quad (\sqrt a<x\le 1) $$

となる。したがって $x=\sqrt a$ で極小値をとる。

その値は

$$ f(\sqrt a)=a\sqrt a-3a\sqrt a=-2a^{3/2} $$

であり，端点では

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=1-3a $$

であるから，

$$ M=\max{|1-3a|,\ 2a^{3/2}} $$

となる。

ここでさらに場合分けする。

（ii-1） $0\le a\le \dfrac13$ のとき

このとき $1-3a\ge 0$ なので，

$$ M=\max{1-3a,\ 2a^{3/2}} $$

である。$1-3a$ は減少し，$2a^{3/2}$ は増加するから，$M$ が最小になるのは両者が一致するときである。

$$ 1-3a=2a^{3/2} $$

とおく。$t=\sqrt a\ (\ge 0)$ とすると，

$$ 1-3t^2=2t^3 $$

すなわち

$$ 2t^3+3t^2-1=0 $$

である。これを因数分解すると，

$$ 2t^3+3t^2-1=(t+1)^2(2t-1) $$

となるから，$t\ge 0$ より

$$ t=\frac12 $$

したがって

$$ a=\frac14 $$

である。このとき

$$ M=1-3\cdot \frac14=\frac14 $$

となる。

（ii-2） $\dfrac13\le a\le 1$ のとき

このとき $|1-3a|=3a-1$ なので，

$$ M=\max{3a-1,\ 2a^{3/2}} $$

である。ここで $3a-1$ も $2a^{3/2}$ もともに増加関数であるから，$M$ はこの区間では $a=\dfrac13$ のとき最小である。

その値は

$$ M=2\left(\frac13\right)^{3/2}=\frac{2}{3\sqrt3} $$

であるが，

$$ \frac{2}{3\sqrt3}>\frac14 $$

である。

（iii） $a>1$ のとき

このとき $x^2-a<0$ であるから，$0\le x\le 1$ で常に $f'(x)<0$ である。よって $f$ は $[0,1]$ で単調減少であり，

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=1-3a<0 $$

より，

$$ M=|f(1)|=3a-1\ge 2 $$

である。

以上より，全体で最小となるのは

$$ a=\frac14,\qquad M=\frac14 $$

のときである。

解法2

最小値だけを素早く見抜く方法もある。

任意の $a$ に対して，

$$ M\ge |f(1)|=|1-3a| $$

であり，また

$$ M\ge \left|f\left(\frac12\right)\right| =\left|\frac18-\frac{3a}{2}\right| $$

でもある。

したがって，

$$ 3M\ge |1-3a|+2\left|\frac18-\frac{3a}{2}\right| $$

であり，三角不等式より

$$ |1-3a|+2\left|\frac18-\frac{3a}{2}\right| \ge \left|(1-3a)-2\left(\frac18-\frac{3a}{2}\right)\right| =\frac34 $$

となるから，

$$ M\ge \frac14 $$

を得る。

あとはこの下限が実際に達成される $a$ を見つければよい。$a=\dfrac14$ とすると，

$$ f(x)=x^3-\frac34x $$

であり，

$$ f\left(\frac12\right)=\frac18-\frac38=-\frac14,\qquad f(1)=1-\frac34=\frac14 $$

となる。さらに

$$ f'(x)=3x^2-\frac34 $$

より，$[0,1]$ では $x=\dfrac12$ で極小，$x=1$ で最大となるので，$[0,1]$ における $f(x)$ の値は $-\dfrac14$ 以上 $\dfrac14$ 以下である。したがって

$$ M=\frac14 $$

となる。

よってやはり

$$ a=\frac14 $$

のときに最小値 $\dfrac14$ をとる。

解説

この問題は，$|f(x)|$ の最大値を最小にするという極値問題であり，実質的には「$x^3$ を一次式 $3ax$ でどこまで一様に近似できるか」を見ている。

解法1は微分による標準的な処理であり，どの点で $|f(x)|$ の最大が現れるかを丁寧に追う方法である。確実であり，入試では最も書きやすい。

解法2は，$x=1$ と $x=\dfrac12$ という2点を見るだけで $M\ge \dfrac14$ を導く方法である。最適化問題では，適切な点での値を比較して下限を作る発想が有効である。

答え

$M$ の最小値は

$$ \frac14 $$

であり，そのときの $a$ の値は

$$ a=\frac14 $$

である。