解説

方針・初手

円は $x^2+y^2=1$ であり，曲線 $C$ は $y=ax^3-2x$ であるから，共有点は

$$ x^2+(ax^3-2x)^2=1 $$

を満たす点である。

この式は $x$ の偶関数になっているので，$t=x^2$ とおくと 3 次方程式に帰着できる。 さらに，$t$ の正の解 1 つにつき $x=\pm\sqrt{t}$ が対応するので，共有点が 6 個であることは，$t$ の方程式が $(0,1]$ に相異なる 3 つの解をもつことと同値である。

解法1

共有点では

$$ x^2+(ax^3-2x)^2=1 $$

が成り立つ。ここで $t=x^2$ とおくと，$0<t\le 1$ であり，

$$ (ax^3-2x)^2=x^2(ax^2-2)^2=t(at-2)^2 $$

であるから，

$$ t+t(at-2)^2=1 $$

すなわち

$$ a^2t^3-4at^2+5t-1=0 $$

を得る。

ここで

$$ f(t)=a^2t^3-4at^2+5t-1 $$

とおく。

$t$ の正の解 $t_0$ に対して $x=\pm\sqrt{t_0}$ が定まり，それぞれに対応する $y$ も一意に定まるので，$t$ の正の解 1 つは共有点 2 個に対応する。 したがって，共有点が 6 個であるための必要十分条件は，$f(t)=0$ が区間 $(0,1]$ に相異なる 3 つの解をもつことである。

そこで $f$ の増減を調べる。

$$ f'(t)=3a^2t^2-8at+5 =3a^2\left(t-\frac1a\right)\left(t-\frac{5}{3a}\right) $$

より，極値をとるのは

$$ t=\frac1a,\quad t=\frac{5}{3a} $$

である。

また，

$$ f\left(\frac1a\right) =a^2\cdot\frac1{a^3}-4a\cdot\frac1{a^2}+5\cdot\frac1a-1 =\frac2a-1 $$

$$ f\left(\frac{5}{3a}\right) =a^2\cdot\frac{125}{27a^3}-4a\cdot\frac{25}{9a^2}+5\cdot\frac{5}{3a}-1 =\frac{50}{27a}-1 $$

である。

$f(t)=0$ が $(0,1]$ に相異なる 3 つの解をもつためには，

• 極大値が正
• 極小値が負

でなければならない。したがって

$$ f\left(\frac1a\right)>0,\qquad f\left(\frac{5}{3a}\right)<0 $$

が必要である。これより

$$ \frac2a-1>0 \iff a<2 $$

$$ \frac{50}{27a}-1<0 \iff a>\frac{50}{27} $$

を得る。

よって

$$ \frac{50}{27}<a<2 $$

が必要である。

逆に，この範囲の $a$ では

$$ \frac{50}{27}<a<2 $$

より特に $a>\frac53$ であるから，

$$ 0<\frac1a<\frac{5}{3a}<1 $$

となる。さらに

$$ f(0)=-1<0,\qquad f\left(\frac1a\right)>0,\qquad f\left(\frac{5}{3a}\right)<0,\qquad f(1)=a^2-4a+4=(a-2)^2>0 $$

である。

したがって，$f$ は増減より

• $\left(0,\frac1a\right)$ に 1 個
• $\left(\frac1a,\frac{5}{3a}\right)$ に 1 個
• $\left(\frac{5}{3a},1\right)$ に 1 個

の計 3 個の相異なる解をもつ。

ゆえに共有点は $2\times 3=6$ 個である。

以上より，求める範囲は

$$ \frac{50}{27}<a<2 $$

である。

解説

この問題の要点は，交点の条件をそのまま $x$ で処理するのではなく，$x^2=t$ とおいて 3 次方程式に直すことである。 もとの式は $x$ の偶関数であるため，$t=x^2$ とおくのが自然であり，しかも $t$ の正の解 1 つが交点 2 個に対応する。

その結果，「共有点が 6 個」という図形的な条件は，「3 次方程式が $(0,1]$ に相異なる 3 解をもつ」という代数的条件に言い換えられる。 あとは導関数で極大値・極小値を調べ，符号条件

$$ \text{極大値}>0,\qquad \text{極小値}<0 $$

を満たすように $a$ を決めればよい。

答え

$$ \frac{50}{27}<a<2 $$