解説

方針・初手

内心を $I$ とする。内接円の半径が $1$ であるから，$I$ から各辺への距離はすべて $1$ である。

接点 $Q,R$ を用いると，$\triangle AIQ,\triangle CIQ$ は直角三角形になるので，$AQ,QC$ はそれぞれ角の半分を用いて表せる。また，三角形の面積 $S$ は

$$ S=rs $$

で与えられる。ここで $r$ は内接円の半径，$s$ は半周長である。今回は $r=1$ なので，$S$ は半周長そのものになる。この事実を用いて $S$ を求め，最後に最小値を調べる。

解法1

三角形 $ABC$ の内心を $I$ とする。

（1） $AQ,QC$ の表示

$Q$ は辺 $CA$ と内接円の接点であるから，$IQ\perp AC$ であり，$IQ=1$ である。

まず，$\triangle AIQ$ において，

$$ \angle QAI=\frac{\alpha}{2},\qquad \angle AQI=90^\circ $$

であるから，

$$ \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{IQ}{AQ}=\frac{1}{AQ} $$

より，

$$ AQ=\cot \frac{\alpha}{2} $$

である。

次に，$\triangle CIQ$ において，$\angle ACB=\beta$ だから

$$ \angle QCI=\frac{\beta}{2},\qquad \angle CQI=90^\circ $$

である。したがって，

$$ \tan \frac{\beta}{2}=\frac{IQ}{QC}=\frac{1}{QC} $$

より，

$$ QC=\cot \frac{\beta}{2} $$

となる。

（2） $S$ を $t=\tan \dfrac{\beta}{2}$ で表す

接線の長さの性質より，

$$ AR=AQ,\qquad BR=BP,\qquad CQ=CP $$

が成り立つ。

また，$AB=AC$ であるから，

$$ AR+RB=AQ+QC $$

であり，$AR=AQ$ を用いると

$$ RB=QC $$

を得る。よって，

$$ BC=BP+PC=BR+CQ=RB+QC=2QC=2\cot \frac{\beta}{2} $$

である。

さらに，

$$ AC=AQ+QC=\cot \frac{\alpha}{2}+\cot \frac{\beta}{2} $$

である。

ここで半周長を $s$ とすると，$AB=AC$ より

$$ s=\frac{AB+AC+BC}{2}=AC+\frac{BC}{2} $$

であるから，

$$ s=\left(\cot \frac{\alpha}{2}+\cot \frac{\beta}{2}\right)+\cot \frac{\beta}{2} =\cot \frac{\alpha}{2}+2\cot \frac{\beta}{2} $$

となる。

内接円の半径が $1$ なので，

$$ S=rs=s $$

より，

$$ S=\cot \frac{\alpha}{2}+2\cot \frac{\beta}{2} $$

である。

ここで二等辺三角形より

$$ \alpha+2\beta=\pi $$

だから，

$$ \frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\beta $$

となり，

$$ \cot \frac{\alpha}{2}=\cot \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\tan \beta $$

を得る。したがって，

$$ S=\tan \beta+2\cot \frac{\beta}{2} $$

である。

いま $t=\tan \dfrac{\beta}{2}$ とおくと，

$$ \tan \beta=\frac{2t}{1-t^2},\qquad \cot \frac{\beta}{2}=\frac{1}{t} $$

だから，

$$ S=\frac{2t}{1-t^2}+\frac{2}{t} $$

これを整理すると，

$$ S=\frac{2t^2+2(1-t^2)}{t(1-t^2)} =\frac{2}{t(1-t^2)} $$

よって，

$$ S=\frac{2}{t(1-t^2)} $$

である。

（3） $S\ge 3\sqrt{3}$ の証明と等号条件

三角形の内角であるから，

$$ 0<\beta<\frac{\pi}{2} $$

したがって，

$$ 0<\frac{\beta}{2}<\frac{\pi}{4} $$

より

$$ 0<t<1 $$

である。

（2） より

$$ S=\frac{2}{t(1-t^2)}=\frac{2}{t-t^3} $$

と書ける。そこで

$$ f(t)=t-t^3 \qquad (0<t<1) $$

とおくと，

$$ f'(t)=1-3t^2 $$

であるから，

$$ f'(t)=0 \iff t=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。また，

$$ f'(t)>0 \quad \left(0<t<\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\qquad f'(t)<0 \quad \left(\frac{1}{\sqrt{3}}<t<1\right) $$

より，$f(t)$ は $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で最大になる。

その最大値は

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}} =\frac{2}{3\sqrt{3}} $$

である。よって，

$$ t(1-t^2)\le \frac{2}{3\sqrt{3}} $$

となるから，

$$ S=\frac{2}{t(1-t^2)}\ge \frac{2}{,2/(3\sqrt{3}),}=3\sqrt{3} $$

を得る。

次に等号成立条件を調べる。等号は

$$ t=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

のときに限り成り立つ。すなわち，

$$ \tan \frac{\beta}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

より，

$$ \frac{\beta}{2}=\frac{\pi}{6},\qquad \beta=\frac{\pi}{3} $$

である。さらに $\alpha+2\beta=\pi$ より，

$$ \alpha=\pi-2\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3} $$

となる。したがって三角形 $ABC$ の3つの角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ であり，$ABC$ は正三角形である。

逆に，$ABC$ が正三角形なら $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{3}$ であるから，上の議論より等号が成り立つ。

ゆえに，等号が成り立つのは $ABC$ が正三角形のときに限る。

解説

この問題の要点は，内接円の半径が与えられているときに面積公式

$$ S=rs $$

を使うことである。半径が $1$ なので，面積を求める問題が半周長を求める問題に変わる。

また，接点までの長さは，内心を用いた直角三角形を見ると $\cot$ で自然に表せる。さらに二等辺三角形であるため $AB=AC$ から接線の長さにも対称性が生まれ，$BC=2QC$ が出る。この整理ができれば，最後は $t=\tan \dfrac{\beta}{2}$ を用いた1変数関数の最大値・最小値の問題になる。

答え

**(1)**

$$ AQ=\cot \frac{\alpha}{2},\qquad QC=\cot \frac{\beta}{2} $$

**(2)**

$$ S=\frac{2}{t(1-t^2)} $$

**(3)**

$$ S\ge 3\sqrt{3} $$

が成り立ち，等号が成立するのは，三角形 $ABC$ が正三角形のときに限る。