解説

方針・初手

$\sin^3 x+\cos^3 x$ と $\sin x\cos x$ を別々に扱うよりも、

$$ t=\sin x+\cos x $$

とおいて 1 変数化するのが自然である。 実際、$t^2=1+2\sin x\cos x$ から $\sin x\cos x$ が $t$ で表せ、さらに $\sin^3 x+\cos^3 x$ も $(\sin x+\cos x)^3$ を用いて $t$ の式に直せる。 あとは $-\sqrt2\le t\le \sqrt2$ の範囲で三次方程式の実数解の個数を調べればよい。

解法1

$$ t=\sin x+\cos x $$

とおくと、

$$ -\sqrt2\le t\le \sqrt2 $$

である。また

$$ t^2=(\sin x+\cos x)^2=1+2\sin x\cos x $$

より、

$$ \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2} $$

である。

さらに、

$$ \sin^3 x+\cos^3 x =(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x) $$

であるから、

$$ \sin^3 x+\cos^3 x =t^3-3t\cdot \frac{t^2-1}{2} =\frac{t(3-t^2)}{2} $$

となる。

したがって、与えられた方程式

$$ 2\sqrt2(\sin^3 x+\cos^3 x)+3\sin x\cos x=0 $$

は

$$ 2\sqrt2\cdot \frac{t(3-t^2)}{2}+3\cdot \frac{t^2-1}{2}=0 $$

すなわち

$$ -2\sqrt2,t^3+3t^2+6\sqrt2,t-3=0 $$

となる。ここで

$$ f(t)=-2\sqrt2,t^3+3t^2+6\sqrt2,t-3 $$

とおく。

$f(t)$ の増減を調べると、

$$ f'(t)=-6\sqrt2,t^2+6t+6\sqrt2 =-6(t-\sqrt2)(\sqrt2,t+1) $$

であるから、$-\sqrt2\le t\le \sqrt2$ において

• $-\sqrt2\le t\le -\dfrac{1}{\sqrt2}$ では $f'(t)\le 0$
• $-\dfrac{1}{\sqrt2}\le t\le \sqrt2$ では $f'(t)\ge 0$

となる。よって、$f(t)$ は

• $\left[-\sqrt2,-\dfrac{1}{\sqrt2}\right]$ で単調減少
• $\left[-\dfrac{1}{\sqrt2},\sqrt2\right]$ で単調増加

である。

端の値を調べると、

$$ f(-\sqrt2)=-1,\qquad f\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)=-\frac{13}{2},\qquad f(\sqrt2)=7 $$

である。

したがって、

• $\left[-\sqrt2,-\dfrac{1}{\sqrt2}\right]$ では単調減少で、しかも両端で負なので解をもたない。
• $\left[-\dfrac{1}{\sqrt2},\sqrt2\right]$ では単調増加で、左端で負、右端で正なので解をちょうど 1 個もつ。

よって、$-\sqrt2\le t\le \sqrt2$ において、三次方程式 $f(t)=0$ はただ 1 つの実数解 $t=t_0$ をもつ。

ここで

$$ t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

であるから、

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{t_0}{\sqrt2} $$

となる。しかも $t_0\in(-\sqrt2,\sqrt2)$ なので、

$$ \frac{t_0}{\sqrt2}\in(-1,1) $$

である。したがって、区間 $0\le x<2\pi$ においてこの方程式を満たす $x$ はちょうど 2 個である。

解説

この問題は、三角関数そのものを直接解くのではなく、

$$ t=\sin x+\cos x $$

とおいて 1 変数の三次方程式に落とすのが本筋である。 重要なのは、三次方程式の解を具体的に求める必要はなく、$t$ の取りうる範囲 $[-\sqrt2,\sqrt2]$ の中で解が何個あるかだけを増減で判定すれば十分であるという点である。

その後は

$$ \sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) $$

を用いれば、$t$ が 1 つ決まったときに $x$ が何個対応するかを数えればよい。

答え

求める $x$ の個数は

$$ 2 $$

である。