解説

方針・初手

直線 $\ell$ を $y=mx+n$ とおくと，曲線 $C:y=x^3-x$ との交点の $x$ 座標は

$$ x^3-(m+1)x-n=0 $$

の解である．これは $x^2$ の項をもたない 3 次方程式なので，3 つの交点の $x$ 座標の和は常に $0$ になる．

（1） では，点 $P$ を通る直線の傾き $m$ を動かし，この 3 次方程式が 3 つの異なる実数解をもつようにできることを示せばよい．

（2） では，交点の $x$ 座標を $a<b<c$ として，直線と曲線で囲まれる 2 つの部分の面積が等しい条件を積分で表す．すると，中点の交点が $x=0$ でなければならないことが分かる．

解法1

点 $P=(X,Y)$ を任意にとる．

（1） 条件 （i） の証明

点 $P$ を通る傾き $m$ の直線を

$$ \ell_m:\ y=mx+(Y-mX) $$

とおく．

この直線と $C$ の交点の $x$ 座標は

$$ x^3-x=mx+(Y-mX) $$

すなわち

$$ f_m(x)=x^3-(m+1)x-(Y-mX)=0 $$

の解である．

一般に，3 次方程式

$$ x^3+px+q=0 $$

が 3 つの異なる実数解をもつための必要十分条件は

$$ -4p^3-27q^2>0 $$

である．ここでは

$$ p=-(m+1),\qquad q=-(Y-mX) $$

であるから，判別条件は

$$ 4(m+1)^3-27(Y-mX)^2>0 $$

となる．

ここで

$$ D(m)=4(m+1)^3-27(Y-mX)^2 $$

とおくと，$m\to+\infty$ のとき

$$ D(m)\sim 4m^3-27X^2m^2 $$

であり，十分大きい $m$ に対して $D(m)>0$ となる．

したがって，十分大きい傾き $m$ を選べば，$f_m(x)=0$ は 3 つの異なる実数解をもち，$\ell_m$ は曲線 $C$ と相異なる 3 点で交わる．

よって，座標平面上のすべての点 $P$ は条件 （i） を満たす．

（2） 条件 （ii） を満たす点 $P$ の範囲

直線 $\ell:y=mx+n$ が曲線 $C$ と相異なる 3 点で交わるとし，その交点の $x$ 座標を

$$ a<b<c $$

とする．

すると

$$ x^3-(m+1)x-n=(x-a)(x-b)(x-c) $$

であり，$x^2$ の係数が $0$ であるから

$$ a+b+c=0 $$

である．

また，$x^3-(m+1)x-n$ は $(a,b)$ で正，$(b,c)$ で負であるから，2 つの部分の面積が等しいことは

$$ \begin{aligned} \int_a^b {x^3-(m+1)x-n},dx &= -\int_b^c {x^3-(m+1)x-n},dx \end{aligned} $$

と同値である．すなわち

$$ \int_a^c {x^3-(m+1)x-n},dx=0 $$

と同値である．

ここで

$$ x^3-(m+1)x-n=(x-a)(x-b)(x-c) =x^3+(ab+bc+ca)x-abc $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_a^c {x^3-(m+1)x-n},dx &= \left[ \frac{x^4}{4} +\frac{ab+bc+ca}{2}x^2 -abc,x \right]_a^c \end{aligned} $$

となる．さらに $c=-a-b$ を代入して整理すると，

$$ \begin{aligned} \int_a^c {x^3-(m+1)x-n},dx &= -\frac{b(2a+b)^3}{4} \end{aligned} $$

を得る．

したがって面積が等しいための条件は

$$ -\frac{b(2a+b)^3}{4}=0 $$

である．

ところが

$$ 2a+b=a-c\neq 0 $$

であるから，必要なのは

$$ b=0 $$

である．

よって交点の $x$ 座標は

$$ a=-t,\qquad b=0,\qquad c=t\qquad (t>0) $$

の形でなければならない．

このとき，直線 $\ell$ は $(0,0)$ を通る．実際，$n=abc=0$ であり，また

$$ x^3-(m+1)x=(x+t)x(x-t) $$

より

$$ m+1=t^2 $$

すなわち

$$ \ell:\ y=(t^2-1)x $$

である．

逆に，任意の $t>0$ に対して直線

$$ y=(t^2-1)x $$

は曲線 $C$ と $x=-t,0,t$ で交わる．しかも曲線 $y=x^3-x$ も直線 $y=(t^2-1)x$ も原点に関して対称な奇関数のグラフであるから，原点をはさんだ 2 つの部分の面積は等しい．

したがって，条件 （ii） を満たす直線は

$$ y=kx\qquad (k>-1) $$

に限られ，またそのすべてが条件 （ii） を満たす．

ゆえに，点 $P=(X,Y)$ が条件 （ii） を満たすための必要十分条件は，$P$ がある $k>-1$ を満たす直線 $y=kx$ 上にあることである．

これは座標で書けば

$$ X>0,\ Y>-X $$

または

$$ X<0,\ Y<-X $$

または

$$ P=(0,0) $$

である．

解説

この問題の本質は，3 次曲線と直線の交点の $x$ 座標を 3 次方程式の解として見ることである．

$y=x^3-x$ に直線 $y=mx+n$ を引くと，交点は

$$ x^3-(m+1)x-n=0 $$

の解になる．この方程式は $x^2$ の項をもたないので，3 つの解の和が常に $0$ になる．これが，**交点が 3 つあるとき，その真ん中の交点が $0$ になるかどうか** が面積条件の決定打になる理由である．

また，面積が等しい条件は，2 つの部分の面積を別々に計算するより，

$$ \int_a^c (\text{曲線} - \text{直線}),dx=0 $$

とまとめて処理するのが最も自然である．計算すると真ん中の交点が $x=0$ であることが強制され，そこから直線が原点を通ることが分かる．

答え

**(1)**

座標平面上のすべての点 $P$ が条件 （i） を満たす．

**(2)**

条件 （ii） を満たす点 $P=(X,Y)$ の範囲は

$$ {(X,Y)\mid X>0,\ Y>-X} \ \cup {(X,Y)\mid X<0,\ Y<-X} \ \cup {(0,0)} $$

である．

すなわち，直線 $y=-x$ と $y$ 軸で区切られる 2 つの開いた領域のうち，

第1・第4象限側では $y>-x$，

第2・第3象限側では $y<-x$

となる部分に，原点を加えた領域である．