解説

方針・初手

$t=\log_2 x$ とおくと，すべての対数を $t$ で表せるので，$y$ は $t$ の3次関数になる。

また，$2>1$ であるから $\log_2 x$ は単調増加であり，$ \dfrac12 \le x \le 8$ は $-1\le t\le 3$ に対応する。したがって，この区間で3次関数の最大値を調べればよい。

解法1

まず，底の変換公式より

$$ \begin{aligned} \log_{\frac12}x&=\frac{\log_2 x}{\log_2 \frac12} =\frac{t}{-1} =-t,\\ \log_{\sqrt2}x&=\frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt2} =\frac{t}{\frac12} =2t,\\ \log_4 x^3&=\frac{\log_2 x^3}{\log_2 4} =\frac{3\log_2 x}{2} =\frac{3t}{2}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} y &=\left(\log_{\frac12}x\right)^3+a\left(\log_{\sqrt2}x\right)\left(\log_4 x^3\right)\\ &=(-t)^3+a\cdot (2t)\cdot \frac{3t}{2}\\ &=-t^3+3at^2. \end{aligned} $$

よって，（1） の答えは

$$ y=-t^3+3at^2 $$

である。

次に，（2） を考える。

$x$ が $\dfrac12\le x\le 8$ を動くとき，

$$ -1\le t=\log_2 x\le 3 $$

である。そこで

$$ f(t)=-t^3+3at^2 $$

とおくと，

$$ f'(t)=-3t^2+6at=3t(2a-t) $$

となる。

（i） $0<a<\dfrac32$ のとき

このとき $0<2a<3$ であるから，$f'(t)$ の符号は

• $-1\le t<0$ で負
• $0<t<2a$ で正
• $2a<t\le 3$ で負

となる。したがって，$f(t)$ の最大値は $t=-1$ または $t=2a$ でとる。

それぞれの値は

$$ f(-1)=1+3a,\qquad f(2a)=-(2a)^3+3a(2a)^2=4a^3 $$

である。

差をとると

$$ f(2a)-f(-1)=4a^3-3a-1=(a-1)(2a+1)^2 $$

であるから，

• $0<a<1$ なら $f(-1)>f(2a)$
• $a=1$ なら $f(-1)=f(2a)$
• $1<a<\dfrac32$ なら $f(2a)>f(-1)$

となる。

よってこの場合，

$$ \begin{cases} M=1+3a & (0<a<1),\\ M=4a^3 & \left(1\le a<\dfrac32\right). \end{cases} $$

（ii） $a\ge \dfrac32$ のとき

このとき $2a\ge 3$ であるから，区間 $[0,3]$ では $f'(t)\ge 0$ であり，$[-1,0]$ では $f'(t)\le 0$ である。

したがって，最大値は端点 $t=-1,\ 3$ のいずれかでとる。

$$ f(-1)=1+3a,\qquad f(3)=-27+27a=27a-27 $$

であり，

$$ f(3)-f(-1)=27a-27-(1+3a)=4(6a-7)>0 $$

が $a\ge \dfrac32$ で成り立つので，このとき最大値は $t=3$ でとる。

よって

$$ M=27a-27 \qquad \left(a\ge \dfrac32\right) $$

である。

以上より，

$$ M= \begin{cases} 1+3a & (0<a<1),\\ 4a^3 & \left(1\le a\le \dfrac32\right),\\ 27a-27 & \left(a>\dfrac32\right). \end{cases} $$

解説

この問題の要点は，底が異なる対数をすべて $\log_2 x$ に統一することである。すると $y$ は $t$ の3次関数になり，あとは区間 $[-1,3]$ での最大値問題に帰着する。

また，極値候補は導関数 $f'(t)=3t(2a-t)$ から求まる $t=0,\ 2a$ と端点 $t=-1,\ 3$ であるが，符号変化を見ると実際に最大値候補として本質的なのは $t=-1,\ 2a,\ 3$ である。最後はそれらの値を $a$ について比較すればよい。

答え

**(1)**

$$ y=-t^3+3at^2 $$

**(2)**

$$ M= \begin{cases} 1+3a & (0<a<1),\\ 4a^3 & \left(1\le a\le \dfrac32\right),\\ 27a-27 & \left(a>\dfrac32\right). \end{cases} $$

ただし，それぞれ最大値を与えるのは

$$ \begin{cases} x=\dfrac12 & (0<a<1),\\ x=2^{2a} & \left(1\le a\le \dfrac32\right),\\ x=8 & \left(a>\dfrac32\right) \end{cases} $$

である。