解説

方針・初手

条件 $y+z=\sqrt{3}$ を固定しているので，まず $x^2+y^2+z^2=3$ から $yz$ を $x$ で表す。

すると $y^3+z^3$ は $y+z,\ yz$ を用いて表せるから，$x^3+y^3+z^3$ は $x$ のみの式になる。

さらに，$y,\ z$ が実数である条件を判別式で処理すれば，$x$ の範囲が分かる。最後はその区間で三次関数の最大・最小を調べればよい。

解法1

**(1)**

$x^3+y^3+z^3$ を $x$ の式で表す。

$$ (y+z)^2=y^2+2yz+z^2 $$

より，

$$ y^2+z^2=(y+z)^2-2yz=3-2yz $$

である。これを $x^2+y^2+z^2=3$ に代入すると，

$$ x^2+(3-2yz)=3 $$

となるから，

$$ 2yz=x^2,\qquad yz=\frac{x^2}{2} $$

を得る。

ここで，

$$ y^3+z^3=(y+z)^3-3yz(y+z) $$

であるから，

$$ y^3+z^3 =(\sqrt{3})^3-3\cdot \frac{x^2}{2}\cdot \sqrt{3} =3\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 $$

したがって，

$$ x^3+y^3+z^3 =x^3+3\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 $$

である。

**(2)**

$x$ のとりうる値の範囲を求める。

$y,\ z$ は

$$ t^2-(y+z)t+yz=0 $$

すなわち

$$ t^2-\sqrt{3},t+\frac{x^2}{2}=0 $$

の2解である。

$y,\ z$ が実数であるための必要十分条件は，この二次方程式の判別式が $0$ 以上であることである。よって，

$$ (\sqrt{3})^2-4\cdot \frac{x^2}{2}\geqq 0 $$

すなわち，

$$ 3-2x^2\geqq 0 $$

となるから，

$$ x^2\leqq \frac{3}{2} $$

である。したがって，

$$ -\sqrt{\frac{3}{2}}\leqq x\leqq \sqrt{\frac{3}{2}} $$

を得る。

**(3)**

$x^3+y^3+z^3$ の最大値と最小値，およびそのときの $x$ の値を求める。

（1） より，

$$ f(x)=x^3+y^3+z^3=x^3-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2+3\sqrt{3} $$

とおける。（2） より，定義域は

$$ -\sqrt{\frac{3}{2}}\leqq x\leqq \sqrt{\frac{3}{2}} $$

である。

微分すると，

$$ f'(x)=3x^2-3\sqrt{3},x=3x(x-\sqrt{3}) $$

となる。

ここで，区間 $\displaystyle \left[-\sqrt{\frac{3}{2}},\ \sqrt{\frac{3}{2}}\right]$ では $\sqrt{3}$ は範囲外にあるので，この区間内の臨界点は $x=0$ のみである。

符号をみると，

• $-\sqrt{\frac{3}{2}}\leqq x<0$ では $f'(x)>0$
• $0<x\leqq \sqrt{\frac{3}{2}}$ では $f'(x)<0$

である。よって，$f(x)$ は $x=0$ で最大となる。

まず，

$$ f(0)=3\sqrt{3} $$

である。

次に，端点での値を求める。$\displaystyle a=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ とおくと，

$$ a^2=\frac{3}{2},\qquad a^3=\frac{3\sqrt{6}}{4} $$

であるから，

$$ f(a)=\frac{3\sqrt{6}}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{2}+3\sqrt{3} =\frac{3\sqrt{6}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4} $$

また，

$$ f(-a)=-\frac{3\sqrt{6}}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{2}+3\sqrt{3} =\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4} $$

となる。

したがって，

$$ \max (x^3+y^3+z^3)=3\sqrt{3} $$

$$ \min (x^3+y^3+z^3)=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4} $$

である。

また，それぞれを与える $x$ は，

• 最大値のとき $x=0$
• 最小値のとき $\displaystyle x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$

である。

解説

この問題の要点は，$y,\ z$ を個別に求めようとしないことである。

$y+z$ が与えられているので，$x^2+y^2+z^2=3$ から $yz$ を出せば，$y^3+z^3=(y+z)^3-3yz(y+z)$ により一気に $x$ の式へ落とし込める。

また，$x$ の範囲は $y,\ z$ が実数である条件から決まる。$y,\ z$ を解にもつ二次方程式を作り，判別式 $\geqq 0$ を使うのが典型処理である。

答え

**(1)**

$$ x^3+y^3+z^3=x^3-\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2+3\sqrt{3} $$

**(2)**

$$ -\sqrt{\frac{3}{2}}\leqq x\leqq \sqrt{\frac{3}{2}} $$

**(3)**

最大値は

$$ 3\sqrt{3} $$

であり，そのとき

$$ x=0 $$

最小値は

$$ \frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4} $$

であり，そのとき

$$ x=-\sqrt{\frac{3}{2}} $$