解説

方針・初手

求めるのは，領域

$$ D={(x,y)\mid -2\le x\le 2,\ x^2-4\le y\le 0} $$

に含まれる線分のうち最長のものの長さである。

この領域は，放物線 $y=x^2-4$ の上側かつ $x$ 軸の下側にある部分であり，凸である。したがって最長の線分は境界上の2点を端点にもつものとしてよい。

解法1

境界は，$x$ 軸上の線分と，放物線 $y=x^2-4$ の弧からなる。そこで端点の置き方を場合分けして考える。

1. 両端点が $x$ 軸上にある場合

$x$ 軸上で取りうる最長線分は $(-2,0)$ と $(2,0)$ を結ぶもので，長さは

$$ 4 $$

である。

2. 両端点が放物線上にある場合

放物線上の2点を

$$ A=(a,a^2-4),\quad B=(b,b^2-4)\qquad (-2\le b\le a\le 2) $$

とする。このとき

$$ AB^2=(a-b)^2+{(a^2-4)-(b^2-4)}^2 =(a-b)^2{1+(a+b)^2} $$

である。

ここで

$$ s=a+b,\quad u=a-b $$

とおくと，$a,b\in[-2,2]$ より

$$ u\le 4-|s| $$

が成り立つ。したがって

$$ AB^2=u^2(1+s^2)\le (4-|s|)^2(1+s^2) $$

となる。等号が成り立つのは $u=4-|s|$ のとき，すなわち $a=2$ または $b=-2$ のときである。

よって，放物線上どうしを結ぶ最長線分も，結局は端点の一方が $(2,0)$ または $(-2,0)$ である。

3. 結局，$(2,0)$ と放物線上の点との距離を最大化すればよい

対称性より，端点の一方を $(2,0)$ とし，他方を左側の放物線上の点

$$ P=(-t,t^2-4)\qquad (0\le t\le 2) $$

としてよい。このとき線分の長さの2乗は

$$ L(t)^2=(t+2)^2+(t^2-4)^2 $$

である。展開すると

$$ L(t)^2=t^4-7t^2+4t+20 $$

であるから，

$$ \frac{d}{dt}L(t)^2=4t^3-14t+4 =2(t+2)(2t^2-4t+1) $$

となる。

$0\le t\le 2$ における臨界点は

$$ 2t^2-4t+1=0 $$

より

$$ t=1\pm \frac{\sqrt2}{2} $$

である。符号を調べると，$t=1-\dfrac{\sqrt2}{2}$ で極大となる。

そこで

$$ t=1-\frac{\sqrt2}{2} $$

のときの値を求める。この $t$ は

$$ 2t^2-4t+1=0 $$

を満たすので，

$$ t^2=2t-\frac12 $$

であり，さらに

$$ t^4=\left(2t-\frac12\right)^2 =4t^2-2t+\frac14 =6t-\frac74 $$

となる。よって

$$ L(t)^2 =t^4-7t^2+4t+20 =\left(6t-\frac74\right)-7\left(2t-\frac12\right)+4t+20 =\frac{87}{4}-4t $$

である。これに $t=1-\dfrac{\sqrt2}{2}$ を代入して

$$ L_{\max}^2=\frac{87}{4}-4\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{71}{4}+2\sqrt2 $$

を得る。

したがって最長線分の長さは

$$ L_{\max}=\sqrt{\frac{71}{4}+2\sqrt2} =\frac{1}{2}\sqrt{71+8\sqrt2} $$

である。

解説

この問題は，単に放物線の両端を結ぶ長さ $4$ を答えると誤る。実際には，$x$ 軸の端点と放物線上の適切な点を結ぶほうが長くなる。

重要なのは，領域が凸であることから最長線分は境界上の2点を結ぶものとしてよいこと，さらに放物線上どうしの最長弦も結局は端点 $(\pm2,0)$ を含むことを押さえる点である。そこまで整理できれば，あとは1変数関数の最大化に帰着する。

答え

最長線分の長さは

$$ \frac{1}{2}\sqrt{71+8\sqrt2} $$

である。