基礎問題集

数学2 微分法「接線・不等式」の問題1 解説

数学2の微分法「接線・不等式」にある問題1の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学2微分法接線・不等式問題1

解説

積分の値そのものを直接計算するのではなく、グラフから $f(x)$ の上下関係を読み取り、区間を $[-1,0]$ と $[0,1]$ に分けてそれぞれ下から評価する。

右図より、区間 $-1\leqq x\leqq 0$ ではグラフは直線 $y=1$ 以上にある。したがって、

$$ f(x)\geqq 1 \qquad (-1\leqq x\leqq 0) $$

である。よって、

$$ \int_{-1}^{0} f(x),dx \geqq \int_{-1}^{0} 1,dx = 1 $$

となる。

また、区間 $0\leqq x\leqq 1$ ではグラフは直線 $y=-2$ 以上にある。したがって、

$$ f(x)\geqq -2 \qquad (0\leqq x\leqq 1) $$

である。よって、

$$ \int_{0}^{1} f(x),dx \geqq \int_{0}^{1} (-2),dx = -2 $$

となる。

以上より、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} f(x),dx &= \int_{-1}^{0} f(x),dx+\int_{0}^{1} f(x),dx \geqq 1+(-2) = -1 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx \geqq -1 $$

が示された。

この問題では、関数の式が分からなくても、グラフから「どの高さ以上にあるか」を読めば積分を評価できる。

区間 $[-1,0]$ では $f(x)\geqq 1$、区間 $[0,1]$ では $f(x)\geqq -2$ という下からの評価がそのまま積分の下からの評価になる。積分は面積の符号付き和とみなせるので、図形的に捉えるのが有効である。

$$ \int_{-1}^{1} f(x),dx \geqq -1 $$

である。