解説

方針・初手

点 $P(t,f(t))$ における接線と曲線 $C$ の共有点は、

$$ f(x)=f(t)+f'(t)(x-t) $$

を満たす $x$ を求めればよい。

接線は $x=t$ で接しているので、この方程式の左辺は $(x-t)^2$ を因数にもつ。したがって、残る2次式が相異なる2つの実数解をもち、しかもその解が $t$ と一致しないことを調べればよい。

解法1

$f(x)=x^4-2x^2$ であるから、

$$ f'(x)=4x^3-4x $$

である。

よって、点 $P(t,f(t))$ における接線は

$$ y=f(t)+f'(t)(x-t) $$

すなわち

$$ y=t^4-2t^2+(4t^3-4t)(x-t) $$

である。

この接線と曲線 $C$ との交点の $x$ 座標は

$$ x^4-2x^2=t^4-2t^2+(4t^3-4t)(x-t) $$

を満たす。これを整理すると、

$$ x^4-2x^2-{t^4-2t^2+(4t^3-4t)(x-t)}=0 $$

$$ (x-t)^2(x^2+2tx+3t^2-2)=0 $$

となる。

ここで、$(x-t)^2=0$ は接点 $P$ に対応する。したがって、$P$ 以外の交点は

$$ x^2+2tx+3t^2-2=0 $$

の解で与えられる。

接線が $P$ 以外の相異なる2点で $C$ と交わるための条件は、この2次方程式が

• 相異なる2つの実数解をもつこと
• その2解がともに $x=t$ でないこと

である。

まず、相異なる2実数解をもつためには判別式が正であればよい。判別式 $D$ は

$$ D=(2t)^2-4(3t^2-2)=4t^2-12t^2+8=8(1-t^2) $$

であるから、

$$ D>0 \iff 1-t^2>0 \iff -1<t<1 $$

を得る。

次に、2次方程式の解の1つが $x=t$ となる場合を除く。その条件は

$$ t^2+2t\cdot t+3t^2-2=0 $$

すなわち

$$ 6t^2-2=0 $$

$$ t^2=\frac13 $$

である。

したがって、$t=\pm \dfrac1{\sqrt3}$ のときは、$P$ 以外の交点は1点しかないので不適である。

以上より求める範囲は

$$ -1<t<1,\qquad t\neq \pm \frac1{\sqrt3} $$

である。

解説

接線と曲線の共有点を調べる問題では、まず

$$ f(x)-{f(t)+f'(t)(x-t)} $$

を因数分解するのが基本である。

接点では必ず2重根をもつので $(x-t)^2$ が現れる。そこで残りの2次式の実数解の個数を判別式で調べれば、接線がほかに何点で曲線と交わるかが分かる。

この問題では、さらにその2次式が $x=t$ を解にもつ場合を除外する必要がある。この見落としが起こりやすいので注意すべきである。

答え

$$ -1<t<1,\quad t\neq \pm \frac1{\sqrt3} $$

すなわち

$$ -1<t<-\frac1{\sqrt3},\quad -\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3},\quad \frac1{\sqrt3}<t<1 $$

である。