解説

方針・初手

曲線

$$ y=x^3-ax^2 $$

上の点 $x=t$ における接線を考える。

その接線が点 $(0,1)$ を通るという条件を $t$ と $a$ の関係式に直すと、接点の $x$ 座標 $t$ はある3次方程式を満たすことになる。

「そのような接線がちょうど2本存在する」とは、その3次方程式が相異なる実数解をちょうど2個もつことを意味する。3次方程式で相異なる実数解がちょうど2個であるためには、重解をもつことを使えばよい。

解法1

曲線

$$ f(x)=x^3-ax^2 $$

とおく。

$x=t$ における接線の傾きは

$$ f'(t)=3t^2-2at $$

であるから、接線の方程式は

$$ y=(3t^2-2at)(x-t)+t^3-at^2 $$

である。

これが点 $(0,1)$ を通るので、$x=0,\ y=1$ を代入して

$$ 1=-(3t^2-2at)t+t^3-at^2 $$

すなわち

$$ 1=-3t^3+2at^2+t^3-at^2 =-2t^3+at^2 $$

よって

$$ 2t^3-at^2+1=0 $$

を得る。

したがって、点 $(0,1)$ を通り曲線に接する直線の本数は、この方程式

$$ g(t)=2t^3-at^2+1=0 $$

の相異なる実数解の個数に一致する。

問題の条件より、この方程式は相異なる実数解をちょうど2個もつ。3次方程式が相異なる実数解をちょうど2個もつためには、重解を1つもつ必要がある。

そこで

$$ g'(t)=6t^2-2at=2t(3t-a) $$

とすると、重解 $t$ は

$$ g(t)=0,\quad g'(t)=0 $$

を同時に満たす。

まず $g'(t)=0$ より

$$ t=0 \quad \text{または} \quad t=\frac{a}{3} $$

である。

**(i)**

$t=0$ のとき

$$ g(0)=1\neq 0 $$

となり不適。

**(ii)**

$t=\dfrac{a}{3}$ のとき

$$ g\left(\frac{a}{3}\right) =2\left(\frac{a}{3}\right)^3-a\left(\frac{a}{3}\right)^2+1 =\frac{2a^3}{27}-\frac{a^3}{9}+1 =1-\frac{a^3}{27} $$

これが $0$ となるから

$$ 1-\frac{a^3}{27}=0 $$

すなわち

$$ a^3=27 $$

よって

$$ a=3 $$

である。

このとき

$$ g(t)=2t^3-3t^2+1 $$

であり、$t=1$ が重解であるから

$$ 2t^3-3t^2+1=(t-1)^2(2t+1) $$

となる。したがって接点の $x$ 座標は

$$ t=1,\quad t=-\frac12 $$

の2つである。

$t=1$ のとき

傾きは

$$ f'(1)=3-2\cdot 3=-3 $$

また

$$ f(1)=1-3=-2 $$

ゆえに接線は

$$ y+2=-3(x-1) $$

すなわち

$$ y=-3x+1 $$

である。

$t=-\dfrac12$ のとき

傾きは

$$ f'\left(-\frac12\right) =3\left(\frac14\right)-2\cdot 3\left(-\frac12\right) =\frac34+3 =\frac{15}{4} $$

また

$$ f\left(-\frac12\right) =-\frac18-3\cdot \frac14 =-\frac18-\frac68 =-\frac78 $$

ゆえに接線は

$$ y+\frac78=\frac{15}{4}\left(x+\frac12\right) $$

すなわち

$$ y=\frac{15}{4}x+1 $$

である。

解説

接線の本数を、接点の $x$ 座標 $t$ に関する方程式の実数解の個数に置き換えるのが基本方針である。

この問題では、点 $(0,1)$ を通る条件から

$$ 2t^3-at^2+1=0 $$

が得られる。3次方程式で「ちょうど2本」という条件は、「重解を1つもち、もう1つ別の実数解をもつ」と読み替えるのが重要である。したがって、元の式とその導関数を連立するのが自然な処理になる。

答え

$$ a=3 $$

このとき、求める2本の接線は

$$ y=-3x+1,\qquad y=\frac{15}{4}x+1 $$

である。