解説

方針・初手

左辺は $x^n$ と $y^n$ を組み合わせた形であり、右辺は $xy^{n-1}$ である。したがって、$x^n,\ y^n,\ y^n,\ \dots,\ y^n$ の $n$ 個に相加平均・相乗平均の不等式を適用するのが自然である。

解法1

$x^n,\ y^n,\ y^n,\ \dots,\ y^n$ を考える。ただし $y^n$ は $n-1$ 個ある。

これらはすべて正であるから、相加平均・相乗平均の不等式より

$$ \frac{x^n+(n-1)y^n}{n} \ge \sqrt[n]{x^n\cdot (y^n)^{,n-1}} $$

となる。

右辺を整理すると

$$ \begin{aligned} \sqrt[n]{x^n\cdot (y^n)^{,n-1}} &= \sqrt[n]{x^n y^{n(n-1)}} \\ xy^{n-1} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \frac{x^n+(n-1)y^n}{n}\ge xy^{n-1} $$

両辺に $n$ を掛けて

$$ x^n+(n-1)y^n\ge nxy^{n-1} $$

を得る。これで示された。

なお、等号成立は相加平均・相乗平均の不等式の等号条件より

$$ x^n=y^n $$

すなわち $x=y$ のときである。

解法2

$y>0$ であるから、両辺を $y^n$ で割って

$$ \left(\frac{x}{y}\right)^n+(n-1)\ge n\frac{x}{y} $$

を示せばよい。

ここで

$$ t=\frac{x}{y}>0 $$

とおくと、示すべき不等式は

$$ t^n+(n-1)\ge nt $$

すなわち

$$ f(t)=t^n-nt+(n-1)\ge 0 $$

である。

$f(t)$ を調べると

$$ f'(t)=nt^{n-1}-n=n(t^{n-1}-1) $$

であるから、$0<t<1$ では $f'(t)<0$、$t>1$ では $f'(t)>0$ となる。したがって $f(t)$ は $t=1$ で最小値をとる。

その値は

$$ f(1)=1-n+(n-1)=0 $$

であるから

$$ f(t)\ge 0 $$

が成り立つ。よって

$$ t^n+(n-1)\ge nt $$

すなわち

$$ x^n+(n-1)y^n\ge nxy^{n-1} $$

が示された。

解説

この問題の本質は、右辺 $xy^{n-1}$ を $n$ 個の正数の積の $n$ 乗根として見ることである。すると

$$ x^n,\ y^n,\ y^n,\ \dots,\ y^n $$

の $n$ 個に対する相加平均・相乗平均の不等式がそのまま使える。

別解では $x/y$ によって一変数化し、関数の最小値の問題に落としている。こちらは不等式を「最小値が $0$ であること」に言い換えて処理する典型例である。

答え

相加平均・相乗平均の不等式より

$$ \begin{aligned} \frac{x^n+(n-1)y^n}{n} \ge \sqrt[n]{x^n(y^n)^{n-1}} &= xy^{n-1} \end{aligned} $$

したがって

$$ x^n+(n-1)y^n\ge nxy^{n-1} $$

である。等号成立は $x=y$ のときである。