解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $P=(t,t^3)$（$t>0$）とおく。

すると、接線と法線の方程式が具体的に書けるので、$Q,\ R$ の座標を $t$ で表せる。あとは $\dfrac{OR}{OQ}$ を $t$ の式にして最小値を調べればよい。

解法1

$P=(t,t^3)$（$t>0$）とする。

曲線 $y=x^3$ の微分係数は

$$ \frac{dy}{dx}=3x^2 $$

であるから、$P$ における接線の傾きは $3t^2$ である。よって接線の方程式は

$$ y-t^3=3t^2(x-t) $$

すなわち

$$ y=3t^2x-2t^3 $$

となる。

この接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とすると、$y=0$ より

$$ 0=3t^2x-2t^3 $$

したがって

$$ x=\frac{2t}{3} $$

であるから、

$$ Q\left(\frac{2t}{3},0\right) $$

となる。よって

$$ OQ=\frac{2t}{3} $$

である。

次に、法線の傾きは接線の傾きの負の逆数であるから

$$ -\frac{1}{3t^2} $$

である。したがって法線の方程式は

$$ y-t^3=-\frac{1}{3t^2}(x-t) $$

となる。

この法線と $y$ 軸との交点を $R$ とすると、$x=0$ を代入して

$$ y-t^3=-\frac{1}{3t^2}(0-t)=\frac{1}{3t} $$

ゆえに

$$ y=t^3+\frac{1}{3t} $$

であるから、

$$ R\left(0,\ t^3+\frac{1}{3t}\right) $$

となる。$t>0$ より $R$ は $y$ 軸の正の部分にあるので、

$$ OR=t^3+\frac{1}{3t} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{OR}{OQ} &= \frac{t^3+\frac{1}{3t}}{\frac{2t}{3}} \\ \frac{3t^4+1}{2t^2} \\ \frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2t^2} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ f(t)=\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2t^2} $$

とおくと、

$$ f'(t)=3t-\frac{1}{t^3} $$

である。よって

$$ f'(t)=0 \iff 3t^4=1 \iff t^4=\frac{1}{3} $$

となる。

さらに、

$$ f'(t)<0 \quad \left(0<t<3^{-1/4}\right),\qquad f'(t)>0 \quad \left(t>3^{-1/4}\right) $$

であるから、$t=3^{-1/4}$ のとき最小値をとる。

このとき $t^2=3^{-1/2}$ なので、

$$ \begin{aligned} \frac{OR}{OQ} &= \frac{3}{2}\cdot 3^{-1/2} +\frac{1}{2}\cdot 3^{1/2} &= \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sqrt{3} \end{aligned} $$

よって最小値は

$$ \sqrt{3} $$

である。

解法2

解法1と同様に、$P=(t,t^3)$（$t>0$）とおくと

$$ OQ=\frac{2t}{3},\qquad OR=t^3+\frac{1}{3t} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{OR}{OQ} &= \frac{t^3+\frac{1}{3t}}{\frac{2t}{3}} \\ \frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2t^2} \end{aligned} $$

となる。

ここで $u=t^2,(>0)$ とおくと

$$ \begin{aligned} \frac{OR}{OQ} &= \frac{1}{2}\left(3u+\frac{1}{u}\right) \end{aligned} $$

である。

相加平均・相乗平均の関係より

$$ 3u+\frac{1}{u}\ge 2\sqrt{3u\cdot \frac{1}{u}}=2\sqrt{3} $$

したがって

$$ \frac{OR}{OQ}\ge \sqrt{3} $$

である。

等号成立条件は

$$ 3u=\frac{1}{u} $$

すなわち

$$ u^2=\frac{1}{3} $$

であり、$u>0$ より

$$ u=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

である。これは $t^2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のときに実現する。

よって最小値は

$$ \sqrt{3} $$

である。

解説

この問題では、まず点 $P$ を文字で置いて接線・法線の式を機械的に求めることが基本である。そのうえで、$Q,\ R$ の位置がそれぞれ座標軸上にあるので、$OQ,\ OR$ は座標から直接表せる。

最後は

$$ \frac{OR}{OQ}=\frac{3}{2}t^2+\frac{1}{2t^2} $$

という形まで整理できれば、微分でも相加平均・相乗平均でも処理できる。最小値問題では、このように $aX+\dfrac{b}{X}$ の形へ持ち込めるかどうかが重要である。

答え

$$ \frac{OR}{OQ} \text{ の最小値は } \sqrt{3} $$