解説

方針・初手

原点を通る接線は、直線の方程式を $y=mx$ とおけば表せる。これを放物線 $y=ax^2-2x+1$ と連立し、交点がただ1つになる条件、すなわち判別式が $0$ になる条件を用いればよい。

（2） では、（1） で得られた2本の接線の傾きを $m_1,m_2$ として、2直線のなす角の公式

$$ \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right| $$

を用いるのが自然である。

解法1

（1） 原点を通る直線を

$$ y=mx $$

とおく。これが放物線

$$ y=ax^2-2x+1 $$

に接するためには、連立して得られる2次方程式

$$ ax^2-(m+2)x+1=0 $$

が重解をもてばよい。したがって判別式を $0$ として

$$ (m+2)^2-4a=0 $$

を得る。

よって

$$ m+2=\pm 2\sqrt{a} $$

であり、実数の接線が存在するためには $a>0$ が必要である。さらに $a>0$ なら

$$ m=-2\pm 2\sqrt{a} $$

となり、傾きが異なる2本の接線が得られる。

したがって、原点から放物線に引いた接線が2本あるための条件は

$$ a>0 $$

である。

そのとき2本の接線の方程式は

$$ y=(-2+2\sqrt{a})x,\qquad y=(-2-2\sqrt{a})x $$

である。

（2） （1） で得られた2本の接線の傾きを

$$ m_1=-2+2\sqrt{a},\qquad m_2=-2-2\sqrt{a} $$

とする。この2直線のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right| $$

より、

$$ m_2-m_1=-4\sqrt{a},\qquad m_1m_2=4-4a $$

だから

$$ \tan\theta =\left|\frac{-4\sqrt{a}}{1+(4-4a)}\right| =\frac{4\sqrt{a}}{|5-4a|} $$

となる。

これが $45^\circ$ であるから $\tan\theta=1$ より

$$ \frac{4\sqrt{a}}{|5-4a|}=1 $$

すなわち

$$ 4\sqrt{a}=|5-4a| $$

を満たせばよい。

ここで $\sqrt{a}=t\ (t>0)$ とおくと、

$$ 4t=|5-4t^2| $$

となる。

**(i)**

$5-4t^2\geqq 0$ のとき

$$ 4t=5-4t^2 $$

より

$$ 4t^2+4t-5=0 $$

したがって

$$ t=\frac{-1+\sqrt{6}}{2} $$

である。よって

$$ a=t^2=\frac{( \sqrt{6}-1)^2}{4} =\frac{7-2\sqrt{6}}{4} $$

となる。

**(ii)**

$5-4t^2<0$ のとき

$$ 4t=4t^2-5 $$

より

$$ 4t^2-4t-5=0 $$

したがって

$$ t=\frac{1+\sqrt{6}}{2} $$

である。よって

$$ a=t^2=\frac{(1+\sqrt{6})^2}{4} =\frac{7+2\sqrt{6}}{4} $$

となる。

以上より、求める $a$ の値は

$$ a=\frac{7-2\sqrt{6}}{4},\qquad \frac{7+2\sqrt{6}}{4} $$

である。

解説

原点を通る接線を求める問題では、接点を文字でおく方法もあるが、この問題では直線を $y=mx$ とおいて判別式を使うと簡潔である。

また、2直線のなす角は傾きの差だけでは決まらず、

$$ \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right| $$

を用いる必要がある。特に $1+m_1m_2$ に絶対値が必要になる点を落としやすいので注意が必要である。

答え

**(1)**

原点から放物線 $y=ax^2-2x+1$ に引いた接線が2本ある条件は

$$ a>0 $$

である。

そのとき、2本の接線の方程式は

$$ y=(-2+2\sqrt{a})x,\qquad y=(-2-2\sqrt{a})x $$

である。

**(2)**

2本の接線のなす角が $45^\circ$ となるような $a$ の値は

$$ a=\frac{7-2\sqrt{6}}{4},\qquad \frac{7+2\sqrt{6}}{4} $$

である。