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数学2 微分法「接線・不等式」の問題7 解説

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数学2微分法接線・不等式問題7

解説

$x=2$ における接点をまず求め、その点での接線の式を立てる。その接線が点 $(1,-1)$ を通るという条件を使えば、$k$ についての方程式が得られる。

曲線

$$ y=x^3+4kx+1 $$

上で $x=2$ のときの点の座標は

$$ y=2^3+4k\cdot 2+1=8+8k+1=9+8k $$

であるから、接点は

$$ (2,,9+8k) $$

である。

次に、接線の傾きを求めるために微分すると

$$ y'=3x^2+4k $$

となる。したがって、$x=2$ における接線の傾きは

$$ 3\cdot 2^2+4k=12+4k $$

である。

よって、接線の式は

$$ y-(9+8k)=(12+4k)(x-2) $$

となる。

この接線が点 $(1,-1)$ を通るので、$x=1,\ y=-1$ を代入して

$$ -1-(9+8k)=(12+4k)(1-2) $$

すなわち

$$ -10-8k=-(12+4k) $$

となる。

これを整理すると

$$ -10-8k=-12-4k $$

$$ 2=4k $$

$$ k=\frac{1}{2} $$

を得る。

接線の問題では、まず接点の座標とその点での傾きを求め、点傾きの形で接線の式を立てるのが基本である。この問題では「$x$ 座標が $2$ である点における接線」という条件があるので、接点はただちに $x=2$ と決まる。そこから機械的に式を立てればよい。

$$ k=\frac{1}{2} $$