解説

方針・初手

2曲線が第1象限内の同じ点で接線を共有するので、その接点を $P$ とおく。すると

• 2曲線は $P$ を共通に通る
• $P$ における微分係数が一致する
• 共有接線は点 $(0,-a)$ を通る

という3条件が使える。接点の $x$ 座標を $t , (>0)$ とおいて連立するのが自然である。

解法1

第1象限内の接点を

$$ P\left(t,; t^3+at+3\right)=\left(t,; t^2+b\right) \qquad (t>0) $$

とおく。

このとき、2曲線が $P$ で接線を共有するから、まず関数値が等しく

$$ t^3+at+3=t^2+b $$

であり、また微分係数も等しい。

$C_1:y=x^3+ax+3$ の導関数は

$$ y'=3x^2+a $$

$C_2:y=x^2+b$ の導関数は

$$ y'=2x $$

であるから、$x=t$ において

$$ 3t^2+a=2t $$

を得る。

次に、共有接線を $L$ とする。$L$ の傾きは $2t$ であり、$P$ を通るから

$$ L:; y-(t^2+b)=2t(x-t) $$

である。

さらに、この直線は $(0,-a)$ を通るので、$x=0,; y=-a$ を代入して

$$ -a-(t^2+b)=2t(0-t)=-2t^2 $$

すなわち

$$ -a=t^2-b $$

より

$$ b=t^2+a $$

を得る。

一方、最初の関数値の一致

$$ t^3+at+3=t^2+b $$

に上式 $b=t^2+a$ を代入すると

$$ t^3+at+3=2t^2+a $$

となるが、ここで $a=2t-3t^2$ を用いて整理するより、接線条件から直接 $a$ を求めた方が早い。

共有接線 $L$ は $C_1$ の接線でもあるから、$C_1$ の $x=t$ における接線の式は

$$ y-(t^3+at+3)=(3t^2+a)(x-t) $$

である。これが $(0,-a)$ を通るので

$$ -a-(t^3+at+3)=(3t^2+a)(-t) $$

よって

$$ -a-t^3-at-3=-3t^3-at $$

したがって

$$ -a+2t^3-3=0 $$

すなわち

$$ a=2t^3-3 $$

を得る。

これと、微分係数の一致から得た

$$ a=2t-3t^2 $$

を等しいとして

$$ 2t^3-3=2t-3t^2 $$

$$ 2t^3+3t^2-2t-3=0 $$

$$ (2t+3)(t^2-1)=0 $$

となる。

$t>0$ であるから

$$ t=1 $$

である。

すると

$$ a=2\cdot 1^3-3=-1 $$

また

$$ b=t^2+a=1+(-1)\text{ ではない} $$

ここは先ほどの式を確認する。$(0,-a)$ を $C_2$ の接線

$$ y-(t^2+b)=2t(x-t) $$

に代入した式は

$$ -a-(t^2+b)=-2t^2 $$

であったから

$$ -a=t^2-b $$

すなわち

$$ b=t^2+a $$

ではなく

$$ b=t^2+a $$

と見えるが、$a=-1,; t=1$ を入れると $b=0$ となり、共通点条件に合わない。したがってこの変形をもう一度丁寧に行う。

$$ -a-(t^2+b)=-2t^2 $$

両辺に $t^2+b$ を加えると

$$ -a=-t^2+b $$

よって

$$ b=t^2-a $$

である。

したがって

$$ b=1-(-1)=2 $$

となる。

最後に接線の傾きは

$$ 2t=2 $$

であり、$(0,-a)=(0,1)$ を通るから

$$ L:; y=2x+1 $$

である。

解説

共有接線の問題では、接点の $x$ 座標を文字でおき、

• 2曲線の値が一致する
• 微分係数が一致する
• 接線が指定された点を通る

という条件を素直に式にするのが基本である。

この問題では、接線が $(0,-a)$ を通るという条件を $C_1$ 側から使うと $a=2t^3-3$ が出て、微分係数の一致と組み合わせることで $t$ が決まる。最後に $b$ と接線の式を求めればよい。

途中で符号を取り違えやすいので、直線に点を代入する計算は丁寧に追う必要がある。

答え

$$ a=-1,\qquad b=2 $$

共有接線は

$$ y=2x+1 $$

である。