解説

方針・初手

絶対値を含む関数なので、$x$ の符号で場合分けして式を外す。 それぞれの区間で微分して、$x=\dfrac{2}{3}$ および $x=-\dfrac{2}{3}$ における接線の方程式を求め、最後にその2直線の交点を求める。

解法1

与えられた曲線は

$$ y=|x|(1-|x|) $$

である。

$|x|$ を外すと、

**(i)**

$x\geqq 0$ のとき

$$ y=x(1-x)=x-x^2 $$

**(ii)**

$x<0$ のとき

$$ y=(-x)(1+x)=-x-x^2 $$

となる。

まず、点 $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{9}\right)$ における接線を求める。 この点では $x=\dfrac{2}{3}>0$ であるから、$y=x-x^2$ を用いる。

微分すると

$$ y'=1-2x $$

であるから、$x=\dfrac{2}{3}$ における傾きは

$$ 1-2\cdot \frac{2}{3} =1-\frac{4}{3} =-\frac{1}{3} $$

である。

したがって接線の方程式は

$$ y-\frac{2}{9}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{2}{3}\right) $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{9} $$

である。

次に、点 $\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{9}\right)$ における接線を求める。 この点では $x=-\dfrac{2}{3}<0$ であるから、$y=-x-x^2$ を用いる。

微分すると

$$ y'=-1-2x $$

であるから、$x=-\dfrac{2}{3}$ における傾きは

$$ -1-2\left(-\frac{2}{3}\right) =-1+\frac{4}{3} =\frac{1}{3} $$

である。

したがって接線の方程式は

$$ y-\frac{2}{9}=\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\right) $$

すなわち

$$ y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{9} $$

である。

この2直線の交点を求めるため、

$$ -\frac{1}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}x+\frac{4}{9} $$

とおくと、

$$ x=0 $$

となる。これをいずれかの直線に代入すると、

$$ y=\frac{4}{9} $$

である。

よって、求める $y$ 座標の値は $\dfrac{4}{9}$ である。

解説

この問題の要点は、絶対値を含む関数をそのまま扱わず、$x\geqq 0$ と $x<0$ に分けて考えることである。 また、与えられた2点は $y$ 軸に関して対称な位置にあり、実際に求まる2本の接線も

$$ y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{9},\qquad y=\frac{1}{3}x+\frac{4}{9} $$

と対称な形になる。したがって、交点が $y$ 軸上にあることも読み取りやすい。

答え

$\dfrac{4}{9}$