解説

方針・初手

$$ f(x)=\frac{1+x^n}{2}-\left(\frac{1+x}{2}\right)^n $$

は、2つの数 $1,x$ に対して「$n$ 乗してから平均したもの」と「平均してから $n$ 乗したもの」の差である。

$n\ge 2$ のとき $t^n$ は $t\ge 0$ で凸であるから、まず $f(x)\ge 0$ を示せる。等号成立条件を調べれば、最小値が分かる。(2) は $x=\frac{b}{a}$ とおいて (1) をそのまま使えばよい。

解法1

関数

$$ g(t)=t^n $$

を考える。$n\ge 2$ であるから、

$$ g''(t)=n(n-1)t^{n-2}\ge 0 \qquad (t\ge 0) $$

となり、$g(t)=t^n$ は $t\ge 0$ で凸である。

したがって、凸関数の性質より

$$ g\left(\frac{1+x}{2}\right)\le \frac{g(1)+g(x)}{2} $$

すなわち

$$ \left(\frac{1+x}{2}\right)^n \le \frac{1+x^n}{2} $$

が成り立つ。よって

$$ f(x)=\frac{1+x^n}{2}-\left(\frac{1+x}{2}\right)^n \ge 0 $$

である。

また、$g(t)=t^n$ は $t\ge 0$ で狭義凸であるから、等号が成り立つのは

$$ 1=x $$

のときに限る。

したがって、$x\ge 0$ における $f(x)$ の最小値は

$$ 0 $$

であり、そのとき $x=1$ である。

次に （2） を考える。$a,b$ を正の整数とする。$a>0$ なので

$$ x=\frac{b}{a} $$

とおくことができ、$x>0$ である。

このとき

$$ f\left(\frac{b}{a}\right) =\frac{1+\left(\frac{b}{a}\right)^n}{2} -\left(\frac{1+\frac{b}{a}}{2}\right)^n $$

であるから、両辺に $a^n$ を掛けると

$$ \begin{aligned} a^n f\left(\frac{b}{a}\right) &= \frac{a^n+b^n}{2} -\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

(1) より $f\left(\frac{b}{a}\right)\ge 0$ だから、

$$ \frac{a^n+b^n}{2} -\left(\frac{a+b}{2}\right)^n \ge 0 $$

すなわち

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2} $$

である。

さらに等号成立は $f\left(\frac{b}{a}\right)=0$ のとき、すなわち

$$ \frac{b}{a}=1 $$

つまり

$$ a=b $$

のときに限る。よって $a\ne b$ なら不等号は真に成り立つ。

解法2

（1） を微分で処理してもよい。

$$ f(x)=\frac{1+x^n}{2}-\left(\frac{1+x}{2}\right)^n $$

より、

$$ f'(x)=\frac{n}{2}x^{n-1}-\frac{n}{2}\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n-1} =\frac{n}{2}\left\{x^{n-1}-\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n-1}\right\} $$

となる。

ここで $x\ge 0$ において、$n-1\ge 1$ なので $t^{n-1}$ は単調増加である。

**(i)**

$0\le x<1$ のときは

$$ x<\frac{1+x}{2} $$

であるから

$$ x^{n-1}<\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n-1} $$

となり、$f'(x)<0$ である。

**(ii)**

$x=1$ のときは

$$ f'(1)=0 $$

である。

**(iii)**

$x>1$ のときは

$$ x>\frac{1+x}{2} $$

であるから

$$ x^{n-1}>\left(\frac{1+x}{2}\right)^{n-1} $$

となり、$f'(x)>0$ である。

したがって $f(x)$ は $x=1$ で最小となる。実際、

$$ f(1)=\frac{1+1^n}{2}-\left(\frac{1+1}{2}\right)^n=1-1=0 $$

より、最小値は $0$ である。

解説

本問の本質は、$t^n$ が $t\ge 0$ で凸であることである。したがって

$$ \text{「平均してから }n\text{ 乗」}\le \text{「}n\text{ 乗してから平均」} $$

という形がそのまま現れる。

（1） はこの差を表す関数 $f(x)$ の最小値を聞いており、凸性を使えば一瞬で $0$ と分かる。微分でも解けるが、（2） まで見据えるなら凸性で処理する方が自然である。

（2） は $1,x$ を $a,b$ に置き換えた形であり、$x=\frac{b}{a}$ とおけば (1) の結果がそのまま使える。等号成立条件が $a=b$ であることまで確認するのが重要である。

答え

**(1)**

$f(x)$ の $x\ge 0$ における最小値は

$$ 0 $$

であり、そのとき

$$ x=1 $$

である。

**(2)**

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^n \le \frac{a^n+b^n}{2} $$

が成り立つ。等号が成り立つのは

$$ a=b $$

のときに限る。したがって $a\ne b$ なら

$$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^n < \frac{a^n+b^n}{2} $$

である。