解説

方針・初手

曲線 $C:y=x^3-2x+1$ の $x=t$ における接線をまず一般形で表す。

その接線が点 $A(2,-3)$ や点 $B(2,a)$ を通る条件を書けば、接点の $x$ 座標 $t$ に関する方程式に帰着できる。

特に （2） では、点 $B$ から引ける接線の本数は、その方程式の実数解の個数に一致するので、$a$ を $t$ の関数としておき、その増減を調べればよい。

解法1

曲線

$$ y=x^3-2x+1 $$

上の点 $\left(t,t^3-2t+1\right)$ における接線を考える。

微分すると

$$ y'=3x^2-2 $$

であるから、$x=t$ における接線の傾きは $3t^2-2$ である。したがって接線の方程式は

$$ y-(t^3-2t+1)=(3t^2-2)(x-t) $$

となる。

（1） 接線が $A(2,-3)$ を通る条件

点 $A(2,-3)$ を代入すると

$$ -3-(t^3-2t+1)=(3t^2-2)(2-t) $$

左辺を整理すると

$$ -3-t^3+2t-1=-t^3+2t-4 $$

右辺を展開すると

$$ (3t^2-2)(2-t)=6t^2-4-3t^3+2t $$

よって

$$ -t^3+2t-4=-3t^3+6t^2+2t-4 $$

となるので、

$$ 2t^3-6t^2=0 $$

すなわち

$$ 2t^2(t-3)=0 $$

である。したがって

$$ t=0,\ 3 $$

である。

（2） 点 $B(2,a)$ から曲線 $C$ に 3 本の接線が引ける条件

点 $B(2,a)$ を接線の式に代入すると

$$ a-(t^3-2t+1)=(3t^2-2)(2-t) $$

したがって

$$ a=t^3-2t+1+(3t^2-2)(2-t) $$

右辺を整理すると

$$ \begin{aligned} a &=t^3-2t+1+6t^2-4-3t^3+2t \\ &=-2t^3+6t^2-3 \end{aligned} $$

ここで

$$ a=f(t)=-2t^3+6t^2-3 $$

とおく。

点 $B$ から引ける接線の本数は、方程式 $f(t)=a$ の実数解の個数に一致する。したがって、$f(t)$ の極値を調べればよい。

微分すると

$$ f'(t)=-6t^2+12t=-6t(t-2) $$

であるから、増減は次のようになる。

• $t<0$ で $f'(t)<0$
• $0<t<2$ で $f'(t)>0$
• $t>2$ で $f'(t)<0$

よって $t=0$ で極小、$t=2$ で極大をとる。

その値は

$$ f(0)=-3,\qquad f(2)=-2\cdot 8+6\cdot 4-3=5 $$

である。

したがって、方程式

$$ f(t)=a $$

が異なる 3 つの実数解をもつのは、水平線 $y=a$ が $y=f(t)$ と 3 点で交わるとき、すなわち

$$ -3<a<5 $$

のときである。

よって、点 $B$ から曲線 $C$ に 3 本の接線が引けるための条件は

$$ -3<a<5 $$

である。

解説

この問題の本質は、「接線を接点の座標 $t$ で表す」ことである。

（1） は、その一般形の接線が指定された点を通る条件をそのまま代入して解けばよい。

（2） は、接線の本数を直接考えるよりも、接線が点 $B(2,a)$ を通る条件から $a$ を $t$ の関数として表し、そのグラフの形を見るのが典型である。極小値と極大値の間にあるときに限って、対応する接点が 3 つ存在し、したがって接線も 3 本引ける。

答え

$$ \text{(1)}\ t=0,\ 3 $$

$$ \text{(2)}\ -3<a<5 $$