解説

方針・初手

接線の式は微分係数から求める。$l_1$ と曲線 $C$ との交点は、接点 $A$ では重解になるので、交点方程式は $(x-a)^2$ を因数にもつ。この事実を用いてまず点 $B$ の $x$ 座標を求める。

つぎに、$A,B$ における接線の傾きをそれぞれ求め、直交条件 $m_1m_2=-1$ を用いる。最後は $t=a^2,(>0)$ とおくことで、$k$ に関する存在条件に直す。

解法1

曲線

$$ C:\ y=x^3-kx $$

の導関数は

$$ y'=3x^2-k $$

である。

**(1)**

点 $A(a,a^3-ka)$ における接線 $l_1$ の傾きは

$$ 3a^2-k $$

であるから、$l_1$ の式は

$$ y-(a^3-ka)=(3a^2-k)(x-a) $$

すなわち

$$ y=(3a^2-k)x-2a^3 $$

である。

これと曲線 $C$ との交点を求めるために

$$ x^3-kx=(3a^2-k)x-2a^3 $$

とおくと、

$$ x^3-3a^2x+2a^3=0 $$

を得る。

ここで $x=a$ は接点であるから重解であり、実際に

$$ x^3-3a^2x+2a^3=(x-a)^2(x+2a) $$

と因数分解できる。

したがって、$A$ 以外の交点 $B$ の $x$ 座標は

$$ x=-2a $$

である。

**(2)**

（1） より、点 $B$ の $x$ 座標は $-2a$ である。したがって、点 $B$ における接線 $l_2$ の傾きは

$$ 3(-2a)^2-k=12a^2-k $$

である。

一方、$l_1$ の傾きは $3a^2-k$ であるから、$l_1,l_2$ が直交するための条件は

$$ (3a^2-k)(12a^2-k)=-1 $$

である。

これを整理すると

$$ 36a^4-15ka^2+k^2+1=0 $$

となる。

よって、求める条件は

$$ (3a^2-k)(12a^2-k)=-1 $$

あるいは同値な形で

$$ 36a^4-15ka^2+k^2+1=0 $$

である。

**(3)**

$t=a^2,(>0)$ とおくと、（2） の条件は

$$ 36t^2-15kt+k^2+1=0 $$

となる。

したがって、この方程式が $t>0$ の解をもつための $k$ の範囲を求めればよい。

まず実数解をもつためには判別式が $0$ 以上である必要があるから、

$$ (-15k)^2-4\cdot 36\cdot (k^2+1)\geqq 0 $$

すなわち

$$ 225k^2-144k^2-144\geqq 0 $$

より

$$ 81k^2-144\geqq 0 $$

であり、

$$ k^2\geqq \frac{16}{9} $$

を得る。よって

$$ |k|\geqq \frac{4}{3} $$

である。

さらに、二次方程式

$$ 36t^2-15kt+k^2+1=0 $$

の解の和と積は

$$ t_1+t_2=\frac{15k}{36}=\frac{5k}{12},\qquad t_1t_2=\frac{k^2+1}{36}>0 $$

である。

積が正であるから、2解は同符号である。ここで $k<0$ ならば解の和も負であるから、2解とも負となり、$t>0$ の解は存在しない。したがって必要なのは

$$ k>0 $$

である。

これと $|k|\geqq \dfrac{4}{3}$ を合わせると

$$ k\geqq \frac{4}{3} $$

を得る。

逆に、$k\geqq \dfrac{4}{3}$ なら判別式は $0$ 以上であり、解の和は正、積も正なので、少なくとも一つの正の解 $t$ をもつ。よってそのとき $a^2=t>0$ を満たす $a$ が存在する。

したがって、求める範囲は

$$ k\geqq \frac{4}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、三次関数とその接線の交点方程式では、接点の $x$ 座標が重解になることである。そのため、接線と曲線のもう一つの交点は因数分解で素直に求まる。

また、（3） では $a$ そのものではなく $a^2$ が現れているので、$t=a^2$ と置くのが自然である。すると「ある $a$ が存在するか」という問題は、「$t>0$ の解が存在するか」という二次方程式の解の存在問題に変わる。ここで判別式だけでは不十分で、正の解であることの確認まで必要である点が重要である。

答え

**(1)**

点 $B$ の $x$ 座標は

$$ -2a $$

**(2)**

$l_1$ と $l_2$ が直交する条件は

$$ (3a^2-k)(12a^2-k)=-1 $$

すなわち

$$ 36a^4-15ka^2+k^2+1=0 $$

**(3)**

そのような $a$ が存在するための $k$ の範囲は

$$ k\geqq \frac{4}{3} $$