解説

方針・初手

放物線 $C:y=ax^2+b$ の $x=u$ における接線の傾きは微分により $2au$ である。したがって、まず点 $P,Q$ における接線の方程式を求め、条件 「$l_P$ は原点を通る」 を用いて $t$ を $a,b$ で表す。

その後、$l_P$ の傾きから （1） を処理し、（2） では角の2倍の公式 $\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ を用いる。（3）、（4） では $a+b=\dfrac12$ の条件のもとで相加平均・相乗平均の関係を使う。

解法1

放物線 $C:y=ax^2+b$ を微分すると

$$ y'=2ax $$

である。よって、$x=u$ における接線の傾きは $2au$ であり、その接線は

$$ y-(au^2+b)=2au(x-u) $$

すなわち

$$ y=2aux-au^2+b $$

である。

したがって、点 $P(t,at^2+b)$ における接線 $l_P$ は

$$ l_P:\ y=2atx-at^2+b $$

である。

ここで $l_P$ は原点を通るから、$(0,0)$ を代入して

$$ 0=-at^2+b $$

となり、

$$ at^2=b $$

を得る。$t>0$ より

$$ t=\sqrt{\frac{b}{a}} $$

である。したがって $l_P$ の傾き $m_P$ は

$$ m_P=2at=2a\sqrt{\frac{b}{a}}=2\sqrt{ab} $$

となる。

（1）

$l_P$ の傾きが $1$ 未満であるための必要十分条件は

$$ 2\sqrt{ab}<1 $$

である。$a,b>0$ なので、両辺を2乗して同値変形でき、

$$ ab<\frac14 $$

となる。

よって求める条件は

$$ ab<\frac14 $$

である。

（2）

$l_P$ の傾きを $m_P$ とすると

$$ m_P=\tan\theta=2\sqrt{ab} $$

である。仮定より $m_P<1$ だから

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{4} $$

となり、したがって $2\theta$ は鋭角である。

$Q$ を、$l_Q$ と $x$ 軸のなす鋭角が $2\theta$ となるようにとるので、$l_Q$ の傾き $m_Q$ は

$$ m_Q=\tan 2\theta $$

である。角の2倍の公式より

$$ m_Q=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} =\frac{2m_P}{1-m_P^2} $$

であるから、$m_P=2\sqrt{ab}$ を代入して

$$ m_Q=\frac{2\cdot 2\sqrt{ab}}{1-(2\sqrt{ab})^2} =\frac{4\sqrt{ab}}{1-4ab} $$

となる。

よって、$l_Q$ の傾きは

$$ \frac{4\sqrt{ab}}{1-4ab} $$

である。

（3）

$a+b=\dfrac12$ とする。このとき相加平均・相乗平均の関係より

$$ ab\le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 =\left(\frac{1/2}{2}\right)^2 =\frac{1}{16} $$

である。したがって

$$ ab\le \frac{1}{16}<\frac14 $$

となるので、（1） より $l_P$ の傾きは $1$ 未満である。

（4）

（2） より、$l_Q$ の傾き $m_Q$ は

$$ m_Q=\frac{4\sqrt{ab}}{1-4ab} $$

である。

ここで $a+b=\dfrac12$ のもとで $ab$ の取りうる範囲は

$$ 0<ab\le \frac{1}{16} $$

である。

$x=\sqrt{ab}$ とおくと

$$ 0<x\le \frac14 $$

であり、

$$ m_Q=\frac{4x}{1-4x^2} $$

と書ける。この関数を

$$ f(x)=\frac{4x}{1-4x^2} $$

とおくと、

$$ f'(x)=\frac{4(1-4x^2)-4x(-8x)}{(1-4x^2)^2} =\frac{4+16x^2}{(1-4x^2)^2} $$

であるから、

$$ f'(x)>0 $$

が成り立つ。したがって $f(x)$ は $0<x\le \dfrac14$ で単調増加であり、$m_Q$ は $x=\dfrac14$、すなわち

$$ \sqrt{ab}=\frac14 \quad\Longleftrightarrow\quad ab=\frac{1}{16} $$

のとき最大となる。

さらに $a+b=\dfrac12,\ ab=\dfrac1{16}$ より、$a,b$ は方程式

$$ X^2-\frac12 X+\frac1{16}=0 $$

の2解であるが、

$$ \left(X-\frac14\right)^2=0 $$

となるので

$$ a=b=\frac14 $$

である。

解説

この問題の本質は、放物線 $y=ax^2+b$ の接線を一般形で書き、原点を通る条件から $t$ を消去することである。すると $l_P$ の傾きが $2\sqrt{ab}$ の形に整理され、以後は $a,b$ の対称式として扱える。

（2） は幾何に見えるが、実際には傾き $=\tan$(角) であり、三角比の公式に直すのが最短である。（4） は $a+b$ 一定のもとでの最大化なので、$ab$ の最大値が相加平均・相乗平均で決まることを見抜けるかが要点である。

答え

**(1)**

$l_P$ の傾きが $1$ 未満となるための必要十分条件は

$$ ab<\frac14 $$

である。

**(2)**

$l_Q$ の傾きは

$$ \frac{4\sqrt{ab}}{1-4ab} $$

である。

**(3)**

$a+b=\dfrac12$ のとき

$$ ab\le \frac1{16}<\frac14 $$

より、$l_P$ の傾きは $1$ 未満である。

**(4)**

$l_Q$ の傾きが最大になるのは

$$ a=b=\frac14 $$

のときである。