解説

方針・初手

接点の (x) 座標を文字で置く。放物線 (y=x^2) の (x=a) における接線は (y=2ax-a^2) であるから，点 (P) を通る接線の接点パラメータ (a) は二次方程式の解になる。その2解を用いれば，接線 (PQ,PR) の傾きが分かり，(\theta=\angle QPR) を2直線のなす角の公式で表せる。

解法1

点 (P) は直線 (l\colon y=\dfrac12x-\dfrac14) 上にあるので，

$$ P\left(t,\frac12t-\frac14\right) $$

とおける。

放物線 (y=x^2) の (x=a) における接線は

$$ y=2ax-a^2 $$

である。この接線が (P) を通るための条件は

$$ \frac12t-\frac14=2at-a^2 $$

すなわち

$$ a^2-2ta+\frac12t-\frac14=0 $$

である。

この二次方程式の2解を (u,v) とすると，接点は

$$ Q(u,u^2),\quad R(v,v^2) $$

であり，接線 (PQ,PR) の傾きはそれぞれ (2u,2v) である。

したがって，(\theta=\angle QPR) に対して，2直線のなす角の公式より

$$ \tan\theta=\left|\frac{2u-2v}{1+(2u)(2v)}\right| $$

となる。

ここで，(u,v) は方程式

$$ a^2-2ta+\frac12t-\frac14=0 $$

の2解であるから，解と係数の関係より

$$ u+v=2t,\qquad uv=\frac12t-\frac14 $$

である。また，

$$ (u-v)^2=(u+v)^2-4uv =4t^2-4\left(\frac12t-\frac14\right) =4t^2-2t+1 $$

より

$$ |u-v|=\sqrt{4t^2-2t+1} $$

である。

さらに，

$$ 1+4uv =1+4\left(\frac12t-\frac14\right) =2t $$

であるから，(t\neq0) のとき

$$ \tan\theta =\frac{2|u-v|}{|1+4uv|} =\frac{2\sqrt{4t^2-2t+1}}{2|t|} =\frac{\sqrt{4t^2-2t+1}}{|t|} $$

となる。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。

(t=0) のとき，

$$ P\left(0,-\frac14\right) $$

である。このとき接点パラメータ (a) は

$$ a^2-\frac14=0 $$

より

$$ a=\pm\frac12 $$

である。したがって2本の接線の傾きは (1,-1) となるので，

$$ \theta=\frac{\pi}{2} $$

である。

一方，(t\neq0) のときは

$$ \tan\theta=\frac{\sqrt{4t^2-2t+1}}{|t|} $$

となり，(\tan\theta) は有限の正の値であるから

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{2} $$

である。したがって，(\theta) の最大値は

$$ \frac{\pi}{2} $$

であり，そのときの点 (P) は

$$ \left(0,-\frac14\right) $$

である。

解説

放物線への接線は，接点の (x) 座標を (a) とすると (y=2ax-a^2) と表せる。この形を使うと，「点 (P) を通る2本の接線」という条件が二次方程式になり，接点パラメータの和と積から計算を一気に進められる。

また，最大値については (\tan\theta) を微分して調べる必要はない。(t=0) のとき接線の傾きが (1,-1) となって直交するので (\theta=90^\circ) である。(t\neq0) では (\tan\theta) が有限であり，(\theta) は直角より小さいから，これが最大である。

答え

**(1)**

$$ \tan\theta=\frac{\sqrt{4t^2-2t+1}}{|t|}\qquad (t\neq0) $$

**(2)**

$$ \theta_{\max}=\frac{\pi}{2} $$

このとき

$$ P\left(0,-\frac14\right) $$