解説

方針・初手

傾きが $m$ である接線が曲線 $y=f(x)$ に接するのは、接点の $x$ 座標を $t$ とすると

$$ f'(t)=m $$

が成り立つときである。したがって、まず $f'(x)$ を求め、二次方程式 $f'(x)=m$ が異なる2つの実数解をもつ条件を調べればよい。

また、（2） ではその2つの接点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とおき、$\alpha+\beta,\ \alpha\beta$ を用いて中点を求める。

解法1

$f(x)=x^3-3ax^2+2x+1$ であるから、

$$ f'(x)=3x^2-6ax+2 $$

である。

（1） 傾きが $m$ である接線が2本引ける条件

傾きが $m$ の接線の接点の $x$ 座標は

$$ 3x^2-6ax+2=m $$

すなわち

$$ 3x^2-6ax+(2-m)=0 $$

を満たす。

接線が2本引けるためには、この二次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。したがって判別式を $D$ とすると、

$$ D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot (2-m) $$

であり、

$$ \begin{aligned} D&=36a^2-12(2-m)\\ &=36a^2-24+12m\\ &=12(m+3a^2-2) \end{aligned} $$

となる。

よって $D>0$ より、

$$ m+3a^2-2>0 $$

すなわち

$$ m>2-3a^2 $$

である。

（2） 接点 $P,Q$ の中点 $R$ の座標

$3x^2-6ax+(2-m)=0$ の2つの解を $\alpha,\beta$ とする。すると、接点は

$$ P(\alpha,f(\alpha)),\qquad Q(\beta,f(\beta)) $$

である。

二次方程式の解と係数の関係より、

$$ \alpha+\beta=2a,\qquad \alpha\beta=\frac{2-m}{3} $$

である。

まず、中点 $R$ の $x$ 座標は

$$ \frac{\alpha+\beta}{2}=a $$

となる。

次に $y$ 座標を求める。中点の $y$ 座標は

$$ \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} $$

であるから、$f(\alpha)+f(\beta)$ を計算する。

$$ f(\alpha)+f(\beta) =(\alpha^3+\beta^3)-3a(\alpha^2+\beta^2)+2(\alpha+\beta)+2 $$

ここで、

$$ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta =4a^2-\frac{2(2-m)}{3} =4a^2-\frac{4}{3}+\frac{2m}{3} $$

また、

$$ \begin{aligned} \alpha^3+\beta^3 &=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ &=(2a)^3-3\cdot \frac{2-m}{3}\cdot 2a\\ &=8a^3-2a(2-m)\\ &=8a^3-4a+2am \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} f(\alpha)+f(\beta) &=(8a^3-4a+2am)-3a\left(4a^2-\frac{4}{3}+\frac{2m}{3}\right)+2(2a)+2\\ &=8a^3-4a+2am-(12a^3-4a+2am)+4a+2\\ &=-4a^3+4a+2 \end{aligned} $$

よって、中点 $R$ の $y$ 座標は

$$ \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} =-2a^3+2a+1 $$

である。

したがって、

$$ R=(a,,-2a^3+2a+1) $$

となる。

解説

この問題の要点は、「傾きが $m$ の接線」を「導関数の値が $m$ となる点」と読み替えることである。すると、接点の個数は $f'(x)=m$ の実数解の個数に一致する。

また、（2） では $m$ が動いても中点 $R$ が一定になることが重要である。実際、$x$ 座標は常に $a$ となり、$y$ 座標も計算すると $-2a^3+2a+1=f(a)$ となる。したがって、中点 $R$ は曲線の点 $(a,f(a))$ に一致する。

答え

**(1)**

傾きが $m$ である接線が2本引けるのは

$$ m>2-3a^2 $$

のときである。

**(2)**

線分 $PQ$ の中点 $R$ の座標は

$$ R=(a,,-2a^3+2a+1) $$

である。