解説

方針・初手

まず $C_1,\ C_2$ の共有点は連立して得られる2次方程式の判別式で調べる。

次に、$C_1$ の接線 $l_1$ の傾きは微分から $-2p$ と分かるので、$C_2$ 上で傾きが $-2p$ になる点を求めれば、$l_1$ に平行な接線 $l_2$ と接点 $P_2$ が求まる。

最後は、線分 $P_1P_2$ が $l_1$ に垂直であることを、$\overrightarrow{P_1P_2}$ と $l_1$ の方向ベクトルの内積が $0$ であることに言い換えて処理する。

解法1

**(1)**

$C_1$ と $C_2$ が共有点をもたないための条件

$C_1,\ C_2$ の共有点は

$$ -x^2+\frac32=(x-a)^2+a $$

を満たす点である。整理すると

$$ 2x^2-2ax+\left(a^2+a-\frac32\right)=0 $$

となる。

これが実数解をもたないことが必要十分であるから、判別式 $D$ について

$$ D=(-2a)^2-4\cdot 2\left(a^2+a-\frac32\right) =4a^2-8a^2-8a+12 =-4(a^2+2a-3) $$

より、

$$ D<0 $$

すなわち

$$ a^2+2a-3>0 $$

であればよい。因数分解すると

$$ (a+3)(a-1)>0 $$

である。ここで $a>0$ より、

$$ a>1 $$

が求める条件である。

**(2)**

$l_2$ の方程式と $P_2$ の座標

$C_1:y=-x^2+\dfrac32$ を微分すると

$$ y'=-2x $$

であるから、点 $P_1\left(p,-p^2+\dfrac32\right)$ における接線 $l_1$ の傾きは $-2p$ である。

したがって $l_1$ の方程式は

$$ y-\left(-p^2+\frac32\right)=-2p(x-p) $$

より

$$ l_1:\ y=-2px+p^2+\frac32 $$

である。

一方、$C_2:y=(x-a)^2+a$ を微分すると

$$ y'=2(x-a) $$

となる。$C_2$ 上の点の $x$ 座標を $t$ とすると、その点での接線の傾きは $2(t-a)$ である。

$l_2$ は $l_1$ と平行であるから、

$$ 2(t-a)=-2p $$

すなわち

$$ t=a-p $$

である。

よって接点 $P_2$ は

$$ P_2=\left(a-p,\ ((a-p)-a)^2+a\right) =\left(a-p,\ p^2+a\right) $$

となる。

したがって、$P_2$ における接線 $l_2$ は

$$ y-(p^2+a)=-2p{x-(a-p)} $$

より

$$ l_2:\ y=-2px+2ap-p^2+a $$

である。

**(3)**

$P_1P_2$ が $l_1$ に垂直となるときの $p$

$P_1,\ P_2$ は

$$ P_1=\left(p,-p^2+\frac32\right),\qquad P_2=\left(a-p,\ p^2+a\right) $$

であるから、

$$ \overrightarrow{P_1P_2} =\left(a-2p,\ 2p^2+a-\frac32\right) $$

となる。

また、$l_1$ の方向ベクトルは

$$ (1,-2p) $$

とみなせる。

線分 $P_1P_2$ が $l_1$ に垂直であることは、この2ベクトルの内積が $0$ であることと同値であるから、

$$ (a-2p)+\left(2p^2+a-\frac32\right)(-2p)=0 $$

である。整理すると

$$ a-2p-4p^3-2ap+3p=0 $$

すなわち

$$ a+p-2ap-4p^3=0 $$

であり、さらに

$$ (1-2p){a+p(2p+1)}=0 $$

と因数分解できる。

したがって

$$ p=\frac12 $$

または

$$ a=-p(2p+1) $$

である。

ここで仮定より $C_1$ と $C_2$ は共有点をもたないので、（1） より

$$ a>1 $$

である。

もし $a=-p(2p+1)$ ならば

$$ -p(2p+1)>1 $$

すなわち

$$ 2p^2+p+1<0 $$

となるが、左辺の判別式は

$$ 1-8=-7<0 $$

であり、$2p^2+p+1$ は常に正である。したがってこれは不可能である。

よって残るのは

$$ p=\frac12 $$

のみである。

解説

この問題の要点は、放物線の接線を「接点の $x$ 座標で微分係数が決まる」という形で扱うことである。

（2） では、平行条件を傾きの一致に直すだけで接点 $P_2$ がすぐに決まる。ここで接点の $x$ 座標を文字で置いて処理するのが自然である。

（3） は傾きで処理してもよいが、$\overrightarrow{P_1P_2}$ と $l_1$ の方向ベクトルの内積を用いると式の見通しがよい。最後に （1） の条件 $a>1$ を使って不要な解を除くのが重要である。

答え

**(1)**

$C_1$ と $C_2$ が共有点をもたないための条件は

$$ a>1 $$

である。

**(2)**

$$ P_2=\left(a-p,\ p^2+a\right) $$

$$ l_2:\ y=-2px+2ap-p^2+a $$

である。

**(3)**

$$ p=\frac12 $$

である。