解説

方針・初手

点 $C$ 上の $x$ 座標を $t$ とすると、その点における接線の傾きは微分により $3t(t+2)$ である。

したがって、$P$ における接線と、$Q$ における接線が直交するための条件を、接線の傾きの積が $-1$ になる条件として立式すればよい。あとは、その条件を満たす実数 $Q$ が存在するための条件を調べる。

解法1

$C$ は

$$ y=x^3+3x^2 $$

であるから、微分すると

$$ y'=3x^2+6x=3x(x+2) $$

となる。

よって、$P(p,q)$ における接線の傾きは

$$ 3p(p+2) $$

である。

いま、$Q$ の $x$ 座標を $r$ とすると、$Q$ における接線の傾きは

$$ 3r(r+2) $$

であるから、2本の接線が直交する条件は

$$ 3p(p+2)\cdot 3r(r+2)=-1 $$

すなわち

$$ r(r+2)=-\frac{1}{9p(p+2)} $$

である。

ここで左辺を変形すると

$$ r(r+2)=r^2+2r=(r+1)^2-1 $$

であるから、$r(r+2)$ の取りうる値の範囲は

$$ r(r+2)\ge -1 $$

である。

したがって、上の方程式を満たす実数 $r$ が存在するための必要十分条件は

$$ -\frac{1}{9p(p+2)}\ge -1 $$

かつ分母が $0$ でないこと、すなわち

$$ p\ne 0,\quad p\ne -2 $$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$p(p+2)<0$ のとき

これは

$$ -2<p<0 $$

に対応する。

このとき

$$ -\frac{1}{9p(p+2)}>0 $$

であるから、自動的に $-1$ 以上である。よって、この範囲の $p$ はすべて条件を満たす。

**(ii)**

$p(p+2)>0$ のとき

このとき $9p(p+2)>0$ であるから、

$$ -\frac{1}{9p(p+2)}\ge -1 $$

に $9p(p+2)$ を掛けて

$$ -1\ge -9p(p+2) $$

すなわち

$$ 9p(p+2)\ge 1 $$

を得る。

これを整理すると

$$ p^2+2p-\frac{1}{9}\ge 0 $$

さらに

$$ (p+1)^2\ge \frac{10}{9} $$

より

$$ p\le -1-\frac{\sqrt{10}}{3} \quad \text{または} \quad p\ge -1+\frac{\sqrt{10}}{3} $$

となる。

以上をまとめると、求める $p$ の範囲は

$$ p\in \left(-\infty,-1-\frac{\sqrt{10}}{3}\right] \cup (-2,0) \cup \left[-1+\frac{\sqrt{10}}{3},\infty\right) $$

である。

解説

この問題の核心は、接線の傾きを媒介変数 $x$ で表し、その値域を調べることにある。

$Q$ 側の傾き条件を直接 $r$ について解こうとすると計算に引きずられやすいが、

$$ r(r+2)=(r+1)^2-1 $$

と見れば、$r(r+2)$ の最小値が $-1$ であることが直ちに分かる。すると、問題は「右辺が $-1$ 以上になるための $p$ の条件」に帰着する。

特に、$-2<p<0$ では $p(p+2)<0$ となるため、右辺が正になって自動的に条件を満たす点が見落としやすい。

答え

$$ p\in \left(-\infty,-1-\frac{\sqrt{10}}{3}\right] \cup (-2,0) \cup \left[-1+\frac{\sqrt{10}}{3},\infty\right) $$