解説

方針・初手

まず，点 $P(a,a^3-ka)$ における接線 $\ell$ の方程式を求め，それと曲線 $C:y=x^3-kx$ との交点を調べる。接点では重解になるので，もう一つの交点 $Q$ は因数分解で求まる。

次に，$P$ における接線と $Q$ における接線の傾きをそれぞれ求め，直交条件 $m_Pm_Q=-1$ を用いて $k$ の条件を出す。

解法1

曲線 $C$ を

$$ y=f(x)=x^3-kx $$

とおくと，

$$ f'(x)=3x^2-k $$

である。

したがって，点 $P(a,a^3-ka)$ における接線 $\ell$ の傾きは $3a^2-k$ であり，その方程式は

$$ y=(3a^2-k)(x-a)+a^3-ka $$

である。整理すると

$$ y=(3a^2-k)x-2a^3 $$

となる。

この直線 $\ell$ と曲線 $C$ の交点の $x$ 座標は，

$$ x^3-kx=(3a^2-k)x-2a^3 $$

すなわち

$$ x^3-3a^2x+2a^3=0 $$

を満たす。ここで

$$ x^3-3a^2x+2a^3=(x-a)^2(x+2a) $$

であるから，交点の $x$ 座標は

$$ x=a,,-2a $$

である。$x=a$ は接点 $P$ に対応するので，点 $P$ と異なるもう一つの交点 $Q$ は

$$ x_Q=-2a $$

をもつ。

よって，その $y$ 座標は

$$ y_Q=(-2a)^3-k(-2a)=-8a^3+2ka $$

であり，

$$ Q=(-2a,\ 2ka-8a^3) $$

となる。

次に，$Q$ における接線の傾きは

$$ f'(-2a)=3(-2a)^2-k=12a^2-k $$

である。

一方，$\ell$ の傾きは $3a^2-k$ であるから，直交条件より

$$ (3a^2-k)(12a^2-k)=-1 $$

を得る。

ここで

$$ t=a^2 \quad (t>0) $$

とおくと，

$$ (3t-k)(12t-k)=-1 $$

すなわち

$$ 36t^2-15kt+(k^2+1)=0 $$

となる。

これは $t$ についての2次方程式である。実数解をもつためには判別式が $0$ 以上でなければならないから，

$$ (-15k)^2-4\cdot 36\cdot (k^2+1)\geqq 0 $$

より

$$ 225k^2-144k^2-144\geqq 0 $$

$$ 81k^2-144\geqq 0 $$

$$ 9k^2-16\geqq 0 $$

したがって

$$ |k|\geqq \frac43 $$

である。

ただし，これだけでは不十分である。$t=a^2>0$ であるから，2次方程式の解として正の $t$ をもたなければならない。

この2次方程式の2解の和と積は

$$ t_1+t_2=\frac{15k}{36}=\frac{5k}{12}, \qquad t_1t_2=\frac{k^2+1}{36}>0 $$

である。積が正なので，2解は同符号である。正の解をもつには和が正でなければならないから，

$$ \frac{5k}{12}>0 $$

すなわち

$$ k>0 $$

である。

以上を合わせると，

$$ k\geqq \frac43 $$

となる。

なお，$k=\dfrac43$ のときは重解をもち，

$$ t=\frac{5}{18}>0 $$

となるので，この場合も実際に条件を満たす。

解説

この問題の核心は，接点 $P$ における接線と曲線の交点を調べるとき，$x=a$ が重解になることを利用する点にある。実際，

$$ x^3-3a^2x+2a^3=(x-a)^2(x+2a) $$

と因数分解できるので，もう一つの交点がただちに $x=-2a$ と分かる。

また，（2） では判別式だけで

$$ |k|\geqq \frac43 $$

と出して終えてしまうと不十分である。$t=a^2$ とおいた以上，必要なのは「実数解」ではなく「正の実数解」である。そのため，解の和と積まで見て，負の $k$ を除かなければならない。

答え

**(1)**

$$ Q=(-2a,\ 2ka-8a^3) $$

**(2)**

$$ k\geqq \frac43 $$