解説

方針・初手

（1） は $x>0$ として両辺を $x$ で割り，$k \le 4x^2+\dfrac{1}{x}$ と変形して，右辺の最小値を求めればよい。

（2） は （1） の結果をそのまま利用するのが最も自然である。分子を $(4x^3+1)+(4y^3+1)+3$ と分けると，下から評価しやすくなる。

解法1

**(1)**

$x=0$ のときは

$$ 4x^3+1 \ge kx $$

は

$$ 1 \ge 0 $$

となり，常に成り立つ。

したがって，問題は $x>0$ の範囲で考えればよい。$x>0$ ならば両辺を $x$ で割ることができて，

$$ k \le \frac{4x^3+1}{x}=4x^2+\frac{1}{x} $$

となる。よって，すべての $x>0$ について不等式が成り立つための必要十分条件は，

$$ k \le \min_{x>0}\left(4x^2+\frac{1}{x}\right) $$

である。

ここで

$$ f(x)=4x^2+\frac{1}{x}\qquad (x>0) $$

とおくと，

$$ f'(x)=8x-\frac{1}{x^2} =\frac{8x^3-1}{x^2} $$

である。したがって，

$$ f'(x)=0 \iff 8x^3=1 \iff x=\frac{1}{2} $$

となる。

さらに，$x<\dfrac{1}{2}$ では $f'(x)<0$，$x>\dfrac{1}{2}$ では $f'(x)>0$ であるから，$f(x)$ は $x=\dfrac{1}{2}$ で最小値をとる。その値は

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) =4\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{\frac{1}{2}} =1+2 =3 $$

である。

よって求める $k$ の範囲は

$$ k \le 3 $$

である。

**(2)**

（1） により，$t\ge0$ のとき

$$ 4t^3+1 \ge 3t $$

が常に成り立つ。

これを $t=x,\ y$ にそれぞれ適用すると，

$$ 4x^3+1 \ge 3x,\qquad 4y^3+1 \ge 3y $$

である。したがって，

$$ 4(x^3+y^3)+5 =(4x^3+1)+(4y^3+1)+3 \ge 3x+3y+3 =3(x+y+1) $$

を得る。

ここで $x\ge0,\ y\ge0$ だから $x+y+1>0$ である。よって両辺を $x+y+1$ で割ることができて，

$$ \frac{4(x^3+y^3)+5}{x+y+1}\ge 3 $$

となる。

したがって最小値は $3$ である。

等号成立条件は，

$$ 4x^3+1=3x,\qquad 4y^3+1=3y $$

が同時に成り立つときである。（1） の議論より，等号は $x=\dfrac{1}{2}$，$y=\dfrac{1}{2}$ のときに成立する。

よって最小値は $3$，そのとき

$$ x=y=\frac{1}{2} $$

である。

解法2

（2） を別の見方で処理する。

$s=x+y$ とおくと，$s\ge0$ である。また，

$$ x^3+y^3-\frac{(x+y)^3}{4} =\frac{3}{4}(x+y)(x-y)^2 \ge 0 $$

より，

$$ x^3+y^3 \ge \frac{(x+y)^3}{4} =\frac{s^3}{4} $$

が成り立つ。

したがって，

$$ \begin{aligned} \frac{4(x^3+y^3)+5}{x+y+1} \ge \frac{4\cdot \frac{s^3}{4}+5}{s+1} &= \frac{s^3+5}{s+1} \end{aligned} $$

である。

ここで，

$$ \begin{aligned} \frac{s^3+5}{s+1}-3 &= \frac{s^3-3s+2}{s+1} \\ \frac{(s-1)^2(s+2)}{s+1} \ge 0 \end{aligned} $$

だから，

$$ \frac{s^3+5}{s+1}\ge 3 $$

となる。よって元の式も $3$ 以上である。

等号成立には，

$$ x^3+y^3=\frac{(x+y)^3}{4} $$

および

$$ \frac{s^3+5}{s+1}=3 $$

がともに必要である。

前者の等号は $x=y$ のとき，後者の等号は $(s-1)^2=0$，すなわち $s=1$ のときに成り立つ。したがって

$$ x=y=\frac{1}{2} $$

である。

解説

（1） は「ある不等式がすべての $x\ge0$ で成り立つような定数を求める」典型問題であり，$k$ を片側に集めて，$k$ がどこまで許されるかを考えるのが基本である。

（2） は （1） を誘導として使う問題である。分子の $5$ を $1+1+3$ と見て，

$$ 4(x^3+y^3)+5=(4x^3+1)+(4y^3+1)+3 $$

と分けるのが要点である。こうすると （1） の結果を $x,\ y$ にそのまま適用でき，分母 $x+y+1$ とちょうど対応する。

別解では，対称式なので $x+y$ にまとめる発想も有効である。ただし本問では，誘導を使う解法のほうが短く，本質が明確である。

答え

**(1)**

$$ k \le 3 $$

**(2)**

最小値は

$$ 3 $$

であり，そのとき

$$ x=y=\frac{1}{2} $$

である。