解説

方針・初手

まず導関数を調べる。

$$ f'(x)=6x^2-6(a+2)x+12a=6(x-a)(x-2) $$

と因数分解できるので、極値を与える $x$ の値は $x=a,\ 2$ である。 したがって、（1） では $a=1$ を代入して増減を調べればよい。 また （2） では、$x\geqq 0$ における最小値がどこで生じるかを、$a$ と $2$ の大小関係で場合分けして判定するのが自然である。

解法1

（1） まず $a=1$ を代入すると

$$ f(x)=2x^3-9x^2+12x+1 $$

である。

このとき

$$ f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2) $$

となるから、増減は次のようになる。

• $x<1$ で $f'(x)>0$
• $1<x<2$ で $f'(x)<0$
• $x>2$ で $f'(x)>0$

したがって、$x=1$ で極大、$x=2$ で極小となる。

それぞれの値は

$$ f(1)=2-9+12+1=6 $$

$$ f(2)=16-36+24+1=5 $$

であるから、

• 極大値は $6$（$x=1$）
• 極小値は $5$（$x=2$）

である。

さらに、$f(0)=1$ であり、$x\to -\infty$ で $f(x)\to -\infty$、$x\to \infty$ で $f(x)\to \infty$ となる。 しかも極大値 $6$、極小値 $5$ はともに正なので、グラフは $x$ 軸とただ1回だけ交わり、その交点は $-1<x<0$ にある。

よってグラフは、左下から上昇して $(1,6)$ で極大となり、次に下降して $(2,5)$ で極小となった後、再び上昇する形である。

**(2)**

$x\geqq 0$ の範囲で常に $f(x)\geqq 0$ となる条件を求める。

まず

$$ f(0)=a $$

であるから、必要条件として

$$ a\geqq 0 $$

である。

また、導関数は

$$ f'(x)=6(x-a)(x-2) $$

であるから、$x\geqq 0$ における増減は $a$ と $2$ の大小関係で変わる。

**(i)**

$0\leqq a\leqq 2$ のとき

このとき $a\leqq 2$ であるから、増減は

• $0\leqq x<a$ で増加
• $a<x<2$ で減少
• $x>2$ で増加

となる。

したがって、$x=a$ は極大、$x=2$ は極小であり、$x\geqq 0$ における最小値は $x=0$ または $x=2$ で生じる。

よって必要十分条件は

$$ f(0)\geqq 0,\quad f(2)\geqq 0 $$

である。

ここで

$$ f(2)=16-12(a+2)+24a+a=13a-8 $$

だから、

$$ a\geqq 0,\quad 13a-8\geqq 0 $$

すなわち

$$ a\geqq \frac{8}{13} $$

である。

この場合の条件は

$$ \frac{8}{13}\leqq a\leqq 2 $$

となる。

**(ii)**

$a>2$ のとき

このとき増減は

• $0\leqq x<2$ で増加
• $2<x<a$ で減少
• $x>a$ で増加

となる。

したがって、$x=2$ は極大、$x=a$ は極小であり、$x\geqq 0$ における最小値は $x=0$ または $x=a$ で生じる。

ここで $f(0)=a>0$ だから、必要十分条件は

$$ f(a)\geqq 0 $$

である。

計算すると

$$ \begin{aligned} f(a) &=2a^3-3(a+2)a^2+12a^2+a \\ &=2a^3-3a^3-6a^2+12a^2+a \\ &=-a^3+6a^2+a \\ &=a(-a^2+6a+1) \end{aligned} $$

である。

$a>2$ より $a>0$ なので、

$$ -a^2+6a+1\geqq 0 $$

すなわち

$$ a^2-6a-1\leqq 0 $$

である。

この2次不等式の解は

$$ 3-\sqrt{10}\leqq a\leqq 3+\sqrt{10} $$

であるが、いま $a>2$ なので

$$ 2<a\leqq 3+\sqrt{10} $$

となる。

（iii） 以上をまとめると

$$ \frac{8}{13}\leqq a\leqq 2,\qquad 2<a\leqq 3+\sqrt{10} $$

より、

$$ \frac{8}{13}\leqq a\leqq 3+\sqrt{10} $$

である。

解説

この問題の要点は、導関数が

$$ f'(x)=6(x-a)(x-2) $$

ときれいに因数分解できることにある。 これにより、極値を与える点が常に $x=a,\ 2$ であることが分かるので、あとはその2点が $x\geqq 0$ の範囲でどう並ぶかを調べればよい。

（2） で失点しやすいのは、単に $f(a)\geqq 0,\ f(2)\geqq 0$ を両方課してしまうことである。 実際には、どちらが極小になるかは $a$ と $2$ の大小で変わるため、最小値を与える点を正しく見極める必要がある。

答え

**(1)**

極大値は $6$（$x=1$）、極小値は $5$（$x=2$）である。

グラフは $(1,6)$ で極大、$(2,5)$ で極小をとり、$x$ 軸とは $-1<x<0$ で1回だけ交わる。

**(2)**

$$ \frac{8}{13}\leqq a\leqq 3+\sqrt{10} $$

である。