解説

方針・初手

曲線 $C$ 上の点を $x=t$ とおくと，その点における接線の傾きも接線の方程式も $t$ で表せる。 その接線が点 $(3,0)$ を通る条件を立てれば，$(3,0)$ から引ける接線に対応する $t$ が求まる。 その中で傾きが最小のものを選べばよい。

解法1

曲線

$$ y=x^3-2x-5 $$

上の $x=t$ における点は

$$ (t,\ t^3-2t-5) $$

である。

このとき，接線の傾きは

$$ y'=3x^2-2 $$

より

$$ 3t^2-2 $$

であるから，$x=t$ における接線は

$$ y-(t^3-2t-5)=(3t^2-2)(x-t) $$

となる。整理すると

$$ y=(3t^2-2)x-2t^3-5 $$

である。

この接線が点 $(3,0)$ を通るので，

$$ 0=(3t^2-2)\cdot 3-2t^3-5 $$

すなわち

$$ 2t^3-9t^2+11=0 $$

を得る。

これを因数分解すると

$$ 2t^3-9t^2+11=(t+1)(2t^2-11t+11) $$

であるから，

$$ t=-1,\quad t=\frac{11-\sqrt{33}}{4},\quad t=\frac{11+\sqrt{33}}{4} $$

である。

それぞれの接線の傾きは

$$ m=3t^2-2 $$

より，

$$ t=-1 \text{ のとき } m=1 $$

また

$$ t=\frac{11\pm\sqrt{33}}{4} $$

のとき

$$ m=3\left(\frac{11\pm\sqrt{33}}{4}\right)^2-2 =\frac{215\pm 33\sqrt{33}}{8} $$

である。これらはいずれも $1$ より大きいので，傾きが最も小さい接線は $t=-1$ における接線である。

したがって，求める接線 $\ell$ は，点 $(-1,-4)$ を通り傾き $1$ であるから，

$$ y+4=x+1 $$

すなわち

$$ y=x-3 $$

である。

次に，曲線 $C$ と接線 $\ell$ の共有点を求める。

$$ x^3-2x-5=x-3 $$

より

$$ x^3-3x-2=0 $$

となる。接点は $x=-1$ であり，接しているので重解をもつ。実際，

$$ x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) $$

であるから，接点以外の共有点は

$$ x=2 $$

である。このとき

$$ y=x-3=-1 $$

より，共有点は

$$ (2,-1) $$

である。

解説

接線の問題では，接点の $x$ 座標を $t$ とおいて処理するのが基本である。 この方法を使うと，「接線がある定点を通る」という条件を $t$ の方程式に落とし込める。

また，接線と曲線の共有点を求める場面では，接点に対応する解が重解になることを意識すると因数分解の見通しが立つ。

答え

**(1)**

$$ \ell:\ y=x-3 $$

**(2)**

接点以外の共有点は

$$ (2,-1) $$

である。