解説

方針・初手

$0 \leqq x \leqq 1$ において常に $f(x) \geqq 0$ となるには、区間 $[0,1]$ での最小値が $0$ 以上であればよい。

そこで、まず $f(x)=x^3-3ax+a$ を $x$ で微分し、区間 $[0,1]$ における増減と最小値を調べる。

解法1

$$ f(x)=x^3-3ax+a $$

とおくと、

$$ f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a) $$

である。ここで、$a$ の値によって増減が変わるので場合分けする。

**(i)**

$a \leqq 0$ のとき

このとき $x^2-a \geqq 0$ であるから、$0 \leqq x \leqq 1$ において

$$ f'(x)\geqq 0 $$

となる。よって $f(x)$ は $[0,1]$ で単調増加であり、最小値は $x=0$ でとる。

$$ f(0)=a $$

したがって $f(x)\geqq 0$ が $[0,1]$ で成り立つためには

$$ a\geqq 0 $$

が必要である。これと $a\leqq 0$ を合わせると、

$$ a=0 $$

である。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

このとき $x=\sqrt{a}$ が $[0,1]$ 内にあり、

• $0\leqq x<\sqrt{a}$ で $f'(x)<0$
• $\sqrt{a}<x\leqq 1$ で $f'(x)>0$

となるから、$x=\sqrt{a}$ で最小値をとる。

よって必要十分条件は

$$ f(\sqrt{a})\geqq 0 $$

である。計算すると、

$$ f(\sqrt{a}) =(\sqrt{a})^3-3a\sqrt{a}+a =a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}+a =a-2a\sqrt{a} =a(1-2\sqrt{a}) $$

である。

ここで $a>0$ より、

$$ a(1-2\sqrt{a})\geqq 0 \iff 1-2\sqrt{a}\geqq 0 \iff \sqrt{a}\leqq \frac12 \iff a\leqq \frac14 $$

したがってこの場合は

$$ 0<a\leqq \frac14 $$

である。

**(iii)**

$a\geqq 1$ のとき

このとき $0\leqq x\leqq 1$ では常に $x^2-a\leqq 0$ であるから、

$$ f'(x)\leqq 0 $$

となり、$f(x)$ は $[0,1]$ で単調減少である。したがって最小値は $x=1$ でとる。

$$ f(1)=1-3a+a=1-2a $$

ところが $a\geqq 1$ なら

$$ 1-2a\leqq -1<0 $$

であるから、条件を満たさない。

以上より、求める $a$ の範囲は

$$ 0\leqq a\leqq \frac14 $$

である。

解法2

$f(x)\geqq 0$ を $a$ について整理すると、

$$ x^3-3ax+a\geqq 0 \iff x^3+a(1-3x)\geqq 0 $$

となる。

$x=\dfrac13$ では

$$ f\left(\frac13\right)=\frac1{27}>0 $$

であり、問題はない。

そこで $x\neq \dfrac13$ として $a$ について解く。

**(i)**

$0\leqq x<\dfrac13$ のとき

$1-3x>0$ なので、

$$ a\geqq -\frac{x^3}{1-3x} $$

を得る。ここで

$$ g(x)=-\frac{x^3}{1-3x}=\frac{x^3}{3x-1} $$

とおくと、

$$ g'(x)=\frac{3x^2(2x-1)}{(3x-1)^2} $$

である。$0\leqq x<\dfrac13$ では $2x-1<0$ だから $g'(x)<0$、すなわち $g(x)$ は単調減少である。

したがってこの区間での最大値は $x=0$ のときで、

$$ g(0)=0 $$

より、

$$ a\geqq 0 $$

が必要である。

**(ii)**

$\dfrac13<x\leqq 1$ のとき

$1-3x<0$ なので、

$$ a\leqq -\frac{x^3}{1-3x}=\frac{x^3}{3x-1} $$

を得る。再び

$$ g(x)=\frac{x^3}{3x-1} $$

とおくと、

$$ g'(x)=\frac{3x^2(2x-1)}{(3x-1)^2} $$

であるから、$\dfrac13<x<\dfrac12$ で減少し、$\dfrac12<x\leqq 1$ で増加する。よって最小値は $x=\dfrac12$ でとる。

$$ g\left(\frac12\right) =\frac{(1/2)^3}{3(1/2)-1} =\frac{1/8}{1/2} =\frac14 $$

したがって

$$ a\leqq \frac14 $$

が必要である。

以上より、

$$ 0\leqq a\leqq \frac14 $$

となる。

解説

この問題の本質は、「$[0,1]$ 上での最小値が $0$ 以上」という条件をどう処理するかにある。

解法1は、$a$ を固定して $x$ の関数として最小値を調べる標準的な方法であり、最も自然である。特に $0<a<1$ のとき、極小点 $x=\sqrt{a}$ が区間内に入ることに着目できるかが重要である。

解法2は、各 $x$ に対して $a$ の条件を立て、全ての $x$ で共通に成り立つ範囲を求める見方である。$a$ に関して一次式であることを利用しており、処理はやや技巧的だが見通しがよい。

答え

$$ 0\leqq a\leqq \frac14 $$