解説

方針・初手

放物線 $C:y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線をまず求める。すると、点 $A(a,-1)$ を通る条件は $t$ に関する2次方程式になる。

この2次方程式の実数解の個数を調べれば （1） が示せ、解の和と積を使えば接点を結ぶ直線 $PQ$ の式もすぐに求まる。最後は、点と直線の距離の公式を用いて （3） を処理する。

解法1

放物線 $y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線は、微分係数が $2t$ であるから

$$ y-t^2=2t(x-t) $$

すなわち

$$ y=2tx-t^2 $$

である。

**(1)**

この接線が点 $A(a,-1)$ を通るための条件は

$$ -1=2ta-t^2 $$

である。これを整理すると

$$ t^2-2at-1=0 $$

を得る。

この2次方程式の判別式は

$$ D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=4(a^2+1) $$

であり、$a$ は実数なので

$$ a^2+1>0 $$

より

$$ D>0 $$

である。したがって、この方程式は異なる2つの実数解をもつ。

それぞれの実数解に対して接点 $(t,t^2)$ が定まり、その点における接線 $y=2tx-t^2$ は点 $A(a,-1)$ を通る。よって、点 $A(a,-1)$ を通る $C$ の接線はちょうど2本存在する。

**(2)**

点 $A(a,-1)$ から引いた2本の接線の接点をそれぞれ

$$ P(p,p^2),\quad Q(q,q^2) $$

とする。このとき $p,q$ は先ほどの2次方程式

$$ t^2-2at-1=0 $$

の2つの解であるから、解と係数の関係より

$$ p+q=2a,\quad pq=-1 $$

が成り立つ。

直線 $PQ$ の傾きは

$$ \frac{q^2-p^2}{q-p}=p+q $$

であるから、直線 $PQ$ は点 $P(p,p^2)$ を通るので

$$ y-p^2=(p+q)(x-p) $$

と書ける。これを整理すると

$$ y=(p+q)x-pq $$

となる。ここに $p+q=2a,\ pq=-1$ を代入して

$$ y=2ax+1 $$

を得る。よって、直線 $PQ$ の方程式は

$$ y=2ax+1 $$

である。

**(3)**

点 $A(a,-1)$ と直線 $y=2ax+1$ の距離を $L$ とする。直線を

$$ 2ax-y+1=0 $$

と書けば、点と直線の距離の公式より

$$ L=\frac{|2a\cdot a+(-1)\cdot (-1)+1|}{\sqrt{(2a)^2+(-1)^2}} =\frac{2a^2+2}{\sqrt{4a^2+1}} =\frac{2(a^2+1)}{\sqrt{4a^2+1}} $$

である。

したがって

$$ L^2=\frac{4(a^2+1)^2}{4a^2+1} $$

となる。ここで

$$ 4(a^2+1)^2-3(4a^2+1) =4a^4-4a^2+1 =(2a^2-1)^2\geqq 0 $$

より

$$ 4(a^2+1)^2\geqq 3(4a^2+1) $$

であるから

$$ L^2=\frac{4(a^2+1)^2}{4a^2+1}\geqq 3 $$

を得る。よって

$$ L\geqq \sqrt{3} $$

であり、最小値は $\sqrt{3}$ である。

等号成立条件は

$$ (2a^2-1)^2=0 $$

すなわち

$$ a^2=\frac12 $$

であるから、

$$ a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

のとき $L$ は最小となる。

解説

この問題の要点は、放物線 $y=x^2$ の接線を「接点の $x$ 座標 $t$」で表すことである。接線の本数は、点を通る条件から得られる2次方程式の実数解の個数にそのまま対応する。

また、（2） では接点の座標そのものを求める必要はない。解と係数の関係

$$ p+q=2a,\quad pq=-1 $$

だけで、弦 $PQ$ の式

$$ y=(p+q)x-pq $$

が決まる。ここを計算で押し切ろうとすると煩雑になりやすいので、この処理が典型である。

（3） では距離を直接微分してもよいが、$L^2$ を考えて平方完成型の不等式に持ち込むと最短で処理できる。

答え

**(1)**

点 $A(a,-1)$ を通る放物線 $C:y=x^2$ の接線は、ちょうど2本存在する。

**(2)**

直線 $PQ$ の方程式は

$$ y=2ax+1 $$

である。

**(3)**

距離 $L$ の最小値は

$$ \sqrt{3} $$

であり、そのときの $a$ の値は

$$ a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

である。