解説

方針・初手

$x$ のすべての実数に対して不等式が成り立つためには、特定の $x$ を代入して得られる必要条件をまず調べるのが自然である。

そのうえで、式を

$$ \begin{aligned} 3x^4-4ax^3-6x^2+12ax+7 &= \left(3x^4-6x^2+7\right)-4a\left(x^3-3x\right) \end{aligned} $$

と見て、$3x^4-6x^2+7$ が $x^3-3x$ をどの程度おさえられるかを調べる。

解法1

与えられた式を

$$ f(x)=3x^4-4ax^3-6x^2+12ax+7 $$

とおく。

まず、$f(x)\ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つなら、特に $x=1,-1$ でも成り立つ。

$x=1$ を代入すると、

$$ f(1)=3-4a-6+12a+7=4+8a\ge 0 $$

より、

$$ a\ge -\frac12 $$

である。

また、$x=-1$ を代入すると、

$$ f(-1)=3+4a-6-12a+7=4-8a\ge 0 $$

より、

$$ a\le \frac12 $$

である。

したがって必要条件として

$$ -\frac12\le a\le \frac12 $$

を得る。

次に、これが十分条件でもあることを示す。

$f(x)$ を

$$ f(x)=\left(3x^4-6x^2+7\right)-4a\left(x^3-3x\right) $$

と変形する。

ここで、

$$ \begin{aligned} \left(3x^4-6x^2+7\right)-2\left(x^3-3x\right) &= 3x^4-2x^3-6x^2+6x+7 \end{aligned} $$

を因数分解すると、

$$ 3x^4-2x^3-6x^2+6x+7=(x+1)^2(3x^2-8x+7) $$

となる。

また、

$$ \begin{aligned} \left(3x^4-6x^2+7\right)+2\left(x^3-3x\right) &= 3x^4+2x^3-6x^2-6x+7 \end{aligned} $$

を因数分解すると、

$$ 3x^4+2x^3-6x^2-6x+7=(x-1)^2(3x^2+8x+7) $$

となる。

ここで

$$ 3x^2-8x+7,\qquad 3x^2+8x+7 $$

はいずれも判別式が

$$ (-8)^2-4\cdot 3\cdot 7=64-84=-20<0 $$

であり、しかも $x^2$ の係数が正であるから、すべての実数 $x$ に対して正である。

よって

$$ \left(3x^4-6x^2+7\right)-2\left(x^3-3x\right)\ge 0 $$

かつ

$$ \left(3x^4-6x^2+7\right)+2\left(x^3-3x\right)\ge 0 $$

である。したがって

$$ 3x^4-6x^2+7\ge 2\left|x^3-3x\right| $$

がすべての実数 $x$ に対して成り立つ。

いま $|a|\le \dfrac12$ とすると、$4|a|\le 2$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \left(3x^4-6x^2+7\right)-4a\left(x^3-3x\right) \ge \left(3x^4-6x^2+7\right)-4|a|\left|x^3-3x\right| \end{aligned} $$

$$ \ge \left(3x^4-6x^2+7\right)-2\left|x^3-3x\right| \ge 0 $$

となる。

よって、$-\dfrac12\le a\le \dfrac12$ ならば $f(x)\ge 0$ はすべての実数 $x$ に対して成り立つ。

以上より求める範囲は

$$ -\frac12\le a\le \frac12 $$

である。

解説

この問題では、まず $x=1,-1$ を代入すると $a$ の範囲に鋭い必要条件が出る点が重要である。

その後は、$a$ を含む部分を $x^3-3x$ にまとめ、

$$ 3x^4-6x^2+7 $$

との大小関係を調べればよい。実際には

$$ \left(3x^4-6x^2+7\right)\pm 2\left(x^3-3x\right) $$

がきれいに因数分解できるため、

$$ 3x^4-6x^2+7\ge 2|x^3-3x| $$

が従う。これにより $|a|\le \dfrac12$ がそのまま十分条件になる。

必要条件を先に出してから、それが十分でもあることを示す流れが最も見通しがよい。

答え

$$ -\frac12\le a\le \frac12 $$