解説

方針・初手

2つの曲線を

$$ f(x)=x^3+2ax^2-3a^2x-4,\qquad g(x)=ax^2-2a^2x-3a $$

とおく。

ある共有点 $x=t$ で両方の曲線に共通な接線をもつとは、その点で値も傾きも一致することを意味する。したがって

$$ f(t)=g(t),\qquad f'(t)=g'(t) $$

が成り立つ。

そこで差

$$ F(x)=f(x)-g(x) $$

を考えると、$t$ は $F(x)$ の重解である。これを用いて条件を整理する。

解法1

まず

$$ F(x)=f(x)-g(x)=x^3+ax^2-a^2x+3a-4 $$

であり、

$$ F'(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a) $$

となる。

共有点 $x=t$ で共通な接線をもつので、

$$ F(t)=0,\qquad F'(t)=0 $$

が必要である。よって

$$ t=\frac{a}{3}\quad \text{または}\quad t=-a $$

である。

**(i)**

$t=\dfrac{a}{3}$ のとき

$$ F\left(\frac{a}{3}\right) =\left(\frac{a}{3}\right)^3+a\left(\frac{a}{3}\right)^2-a^2\left(\frac{a}{3}\right)+3a-4 $$

より、

$$ F\left(\frac{a}{3}\right) =\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{a^3}{3}+3a-4 =-\frac{5a^3}{27}+3a-4 $$

である。したがって

$$ -\frac{5a^3}{27}+3a-4=0 $$

すなわち

$$ 5a^3-81a+108=0 $$

を得る。

$a=3$ を代入すると成り立つので因数分解できて、

$$ 5a^3-81a+108=(a-3)(5a^2+15a-36) $$

となる。よって

$$ a=3,\qquad a=\frac{-15\pm\sqrt{15^2-4\cdot 5\cdot(-36)}}{10} =\frac{-15\pm 3\sqrt{105}}{10} $$

である。

**(ii)**

$t=-a$ のとき

$$ F(-a)=(-a)^3+a(-a)^2-a^2(-a)+3a-4 $$

より、

$$ F(-a)=-a^3+a^3+a^3+3a-4=a^3+3a-4 $$

である。したがって

$$ a^3+3a-4=0 $$

を得る。$a=1$ を代入すると成り立つので、

$$ a^3+3a-4=(a-1)(a^2+a+4) $$

と因数分解できる。ここで

$$ a^2+a+4=\left(a+\frac12\right)^2+\frac{15}{4}>0 $$

であるから、実数解は

$$ a=1 $$

のみである。

以上より、求める実数 $a$ は

$$ a=1,\ 3,\ \frac{-15+3\sqrt{105}}{10},\ \frac{-15-3\sqrt{105}}{10} $$

である。

解説

「共有点で共通な接線をもつ」という条件は、2曲線の差をとった関数がその点で重解をもつことと同値である。この見方をすると、3次式そのものを直接いじるよりも、まず導関数 $F'(x)$ を調べれば候補となる $x$ がすぐに絞られる。

本問では

$$ F'(x)=(3x-a)(x+a) $$

ときれいに因数分解できるので、$x=\dfrac{a}{3},-a$ の2通りだけを調べればよい。ここが最も重要な着眼点である。

答え

$$ a=1,\ 3,\ \frac{-15+3\sqrt{105}}{10},\ \frac{-15-3\sqrt{105}}{10} $$