解説

方針・初手

放物線 $C: y=\dfrac{x^2}{4}$ の接点 $\left(t,\dfrac{t^2}{4}\right)$ における接線 $l_2$ をまず求める。すると、$l_1$ は垂直線であるから、$l_2$ の傾きが分かれば （1） の角度、（2） の対称移動後の直線 $l_3$、さらに （3） の定点、（4） の交点計算まで一貫して処理できる。

解法1

放物線 $C: y=\dfrac{x^2}{4}$ の導関数は

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{2} $$

である。したがって、点 $\left(t,\dfrac{t^2}{4}\right)$ における接線 $l_2$ の傾きは $\dfrac{t}{2}$ であり、

$$ l_2:\ y-\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}(x-t) $$

すなわち

$$ l_2:\ y=\frac{t}{2}x-\frac{t^2}{4} $$

である。

**(1)**

$l_1$ は垂直線 $x=t$ であるから、その方向ベクトルを $(0,1)$ とする。 また、$l_2$ の方向ベクトルは $(2,t)$ ととれる。

よって、なす角を $\theta \ \left(0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ とすると、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{|(0,1)\cdot(2,t)|}{\sqrt{0^2+1^2}\sqrt{2^2+t^2}} \\ \frac{t}{\sqrt{t^2+4}} \end{aligned} $$

となる。

**(2)**

$l_1$ を $l_2$ に関して対称移動した直線を $l_3$ とする。 $l_2$ の方向ベクトルを $(2,t)$、$l_1$ の方向ベクトルを $(0,1)$ とすると、鏡映後の方向ベクトルは

$$ 2\frac{(0,1)\cdot(2,t)}{(2,t)\cdot(2,t)}(2,t)-(0,1) $$

で与えられる。これを計算すると

$$ \begin{aligned} 2\frac{t}{t^2+4}(2,t)-(0,1) &= \left(\frac{4t}{t^2+4},\frac{t^2-4}{t^2+4}\right) \end{aligned} $$

となる。したがって、$l_3$ の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{\frac{t^2-4}{t^2+4}}{\frac{4t}{t^2+4}} &= \frac{t^2-4}{4t} \end{aligned} $$

である。

また、$l_1$ と $l_2$ の交点 $\left(t,\dfrac{t^2}{4}\right)$ は鏡映の軸 $l_2$ 上にあるので、対称移動しても不動である。よって $l_3$ はこの点を通る。

したがって、

$$ y-\frac{t^2}{4}=\frac{t^2-4}{4t}(x-t) $$

すなわち

$$ l_3:\ y=\frac{t^2-4}{4t}x+1 $$

である。

**(3)**

（2） で得た式

$$ l_3:\ y=\frac{t^2-4}{4t}x+1 $$

を見ると、$x=0$ のとき常に $y=1$ である。よって $l_3$ は $t$ によらない定点

$$ (0,1) $$

を通る。

**(4)**

$l_3$ と $C$ の共有点の $x$ 座標は、

$$ \frac{x^2}{4}=\frac{t^2-4}{4t}x+1 $$

すなわち

$$ tx^2-(t^2-4)x-4t=0 $$

の解である。これは $x=t$ を解にもつので、

$$ tx^2-(t^2-4)x-4t=(x-t)(tx+4) $$

と因数分解できる。したがって、2つの共有点は

$$ x=t,\quad x=-\frac{4}{t} $$

に対応する。よって共有点を

$$ P\left(t,\frac{t^2}{4}\right),\quad Q\left(-\frac{4}{t},\frac{4}{t^2}\right) $$

とおける。

これらはともに直線 $l_3$ 上にあるから、$l_3$ の傾きを $m=\dfrac{t^2-4}{4t}$ として

$$ PQ=\left(t+\frac{4}{t}\right)\sqrt{1+m^2} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} 1+m^2 &= 1+\left(\frac{t^2-4}{4t}\right)^2 \\ \frac{(t^2+4)^2}{16t^2} \end{aligned} $$

より、$t>0$ を用いて

$$ \sqrt{1+m^2}=\frac{t^2+4}{4t} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} PQ &= \left(t+\frac{4}{t}\right)\frac{t^2+4}{4t} \\ \frac{(t^2+4)^2}{4t^2} \\ \frac{t^2}{4}+2+\frac{4}{t^2} \end{aligned} $$

を得る。

ここで相加相乗平均より

$$ \frac{t^2}{4}+\frac{4}{t^2}\geqq 2 $$

であるから、

$$ PQ=\frac{t^2}{4}+2+\frac{4}{t^2}\geqq 4 $$

となる。等号成立は

$$ \frac{t^2}{4}=\frac{4}{t^2} $$

すなわち

$$ t^2=4 $$

のときであり、$t>0$ より

$$ t=2 $$

である。

よって、線分 $PQ$ の長さが最小になるのは $t=2$ のときである。

解説

接線 $l_2$ の傾きが $\dfrac{t}{2}$ と出れば、その後は「直線の角度」と「鏡映」の処理に帰着する問題である。 特に （2） では、鏡映後の直線も接点 $\left(t,\dfrac{t^2}{4}\right)$ を通ることと、方向ベクトルの鏡映を用いることが重要である。

また、（4） では $l_3$ の式が

$$ y=\frac{t^2-4}{4t}x+1 $$

と簡潔になるため、放物線との交点の $x$ 座標が $t$ と $-\dfrac{4}{t}$ に整理される。最後は距離を $t$ の式に直し、相加相乗平均で最小値を処理するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \cos\theta=\frac{t}{\sqrt{t^2+4}} $$

**(2)**

$$ l_3:\ y=\frac{t^2-4}{4t}x+1 $$

**(3)**

$l_3$ は定点

$$ (0,1) $$

を通る。

**(4)**

$$ t=2 $$