解説

方針・初手

$g(x)$ は二次関数なので、まず平方完成して最小値を求める。

（2） では $f(x)\leqq g(x)$ を $g(x)-f(x)\geqq 0$ と見て、$x\geqq 0$ における最小値を調べればよい。

（3） では $b_1,b_2$ が独立に動くことが重要である。したがって、$f$ の $x\geqq 0$ における最大値が、$g$ の $x\geqq 0$ における最小値以下であることが必要十分になる。

解法1

**(1)**

$g(x)$ を平方完成すると、

$$ g(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1 $$

となる。

$(x-1)^2\geqq 0$ であるから、$g(x)$ の最小値は

$$ a-1 $$

であり、そのとき $x=1$ である。

**(2)**

$f(x)\leqq g(x)$ が $x\geqq 0$ を満たすすべての実数 $x$ で成り立つ条件を求める。

まず

$$ g(x)-f(x) =(x^2-2x+a)-(-x^3-x^2+2x) =x^3+2x^2-4x+a $$

である。

したがって、求める条件は

$$ x^3+2x^2-4x+a\geqq 0 \qquad (x\geqq 0) $$

である。

ここで

$$ h(x)=x^3+2x^2-4x+a $$

とおくと、

$$ h'(x)=3x^2+4x-4=(3x-2)(x+2) $$

となる。

$x\geqq 0$ においては、$x+2>0$ であるから、$h'(x)=0$ となるのは

$$ x=\frac{2}{3} $$

のみである。

さらに、$0\leqq x<\dfrac{2}{3}$ では $h'(x)<0$、$x>\dfrac{2}{3}$ では $h'(x)>0$ なので、$h(x)$ は $x=\dfrac{2}{3}$ で最小となる。

よって

$$ h\left(\frac{2}{3}\right) =\left(\frac{2}{3}\right)^3+2\left(\frac{2}{3}\right)^2-4\left(\frac{2}{3}\right)+a =\frac{8}{27}+\frac{8}{9}-\frac{8}{3}+a =a-\frac{40}{27} $$

である。

したがって、$x\geqq 0$ のすべてで $h(x)\geqq 0$ となるための必要十分条件は

$$ a-\frac{40}{27}\geqq 0 $$

すなわち

$$ a\geqq \frac{40}{27} $$

である。

**(3)**

$b_1,b_2\geqq 0$ を満たすすべての実数 $b_1,b_2$ に対して

$$ f(b_1)\leqq g(b_2) $$

が成り立つとする。

$b_1,b_2$ は独立に動くので、この条件は

$$ \max_{x\geqq 0} f(x)\leqq \min_{x\geqq 0} g(x) $$

と同値である。

$g(x)$ の最小値は （1） より

$$ a-1 $$

である。

次に $f(x)$ の最大値を求める。

$$ f(x)=-x^3-x^2+2x $$

より、

$$ f'(x)=-3x^2-2x+2 $$

である。したがって

$$ f'(x)=0 \iff 3x^2+2x-2=0 \iff x=\frac{-1\pm \sqrt{7}}{3} $$

となる。

$x\geqq 0$ では

$$ x=\frac{\sqrt{7}-1}{3} $$

のみが該当する。

また、$f'(0)=2>0$ であり、この点を境に $f'(x)$ は正から負に変わるので、$f(x)$ は

$$ x=\frac{\sqrt{7}-1}{3} $$

で最大となる。

$t=\dfrac{\sqrt{7}-1}{3}$ とおくと、$3t^2+2t-2=0$ より

$$ 2=3t^2+2t $$

であるから、

$$ f(t)=-t^3-t^2+2t =-t^3-t^2+t(3t^2+2t) =2t^3+t^2 =t^2(2t+1) $$

となる。

ここで

$$ t=\frac{\sqrt{7}-1}{3},\qquad t^2=\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{9}=\frac{8-2\sqrt{7}}{9},\qquad 2t+1=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} $$

より、

$$ f(t)=\frac{8-2\sqrt{7}}{9}\cdot \frac{2\sqrt{7}+1}{3} =\frac{14\sqrt{7}-20}{27} $$

である。

したがって

$$ \max_{x\geqq 0} f(x)=\frac{14\sqrt{7}-20}{27} $$

であり、求める条件は

$$ \frac{14\sqrt{7}-20}{27}\leqq a-1 $$

すなわち

$$ a\geqq 1+\frac{14\sqrt{7}-20}{27} =\frac{14\sqrt{7}+7}{27} $$

である。

解説

（2） では「$f(x)\leqq g(x)$ をすべての $x\geqq 0$ で満たす」という条件を、その差 $g(x)-f(x)$ の最小値が $0$ 以上であるという形に直すのが基本である。

（3） は （2） と似て見えるが、$b_1$ と $b_2$ が別々に動く点が本質である。そのため、同じ $x$ を代入して比較する問題ではなく、$f$ の最大値と $g$ の最小値の比較になる。この見分けが重要である。

答え

**(1)**

$g(x)$ の最小値は

$$ a-1 $$

である。

**(2)**

求める $a$ の範囲は

$$ a\geqq \frac{40}{27} $$

である。

**(3)**

求める $a$ の範囲は

$$ a\geqq \frac{14\sqrt{7}+7}{27} $$

である。