解説

方針・初手

放物線 $y=x^2$ の接線を接点の座標を用いて表し、その直線がもう一方の放物線

$$ x=\frac{1}{2a}y^2+\frac{3a}{4} $$

にも接する条件を作る。

共通接線の本数は、その条件から得られるパラメータの実数解の個数に一致する。最後は三次方程式の増減を調べればよい。

解法1

放物線

$$ C_1:\ y=x^2 $$

の $x=t$ における接線は

$$ y=2tx-t^2 $$

である。

この直線が

$$ C_2:\ x=\frac{1}{2a}y^2+\frac{3a}{4} $$

にも接する条件を求める。

なお $t=0$ のとき接線は $y=0$ であるが、$C_2$ の $y=0$ における接線は頂点での鉛直線

$$ x=\frac{3a}{4} $$

であるから、$y=0$ は $C_2$ の接線ではない。したがって共通接線に対しては $t\neq 0$ としてよい。

そこで

$$ y=2tx-t^2 $$

を

$$ x=\frac{y+t^2}{2t} $$

と変形し、これを $C_2$ に代入すると

$$ \frac{y+t^2}{2t}=\frac{1}{2a}y^2+\frac{3a}{4} $$

これを整理して

$$ 2ty^2-2ay+\left(3a^2t-2at^2\right)=0 $$

を得る。

この二次方程式が $y$ について重解をもつことが、直線が $C_2$ に接する条件である。よって判別式を $0$ とおくと

$$ (-2a)^2-4\cdot 2t\cdot \left(3a^2t-2at^2\right)=0 $$

すなわち

$$ 4a^2-8t(3a^2t-2at^2)=0 $$

であり、$a\neq 0$ より

$$ 4t^3-6at^2+a=0 $$

を得る。

したがって、共通接線の本数は三次方程式

$$ f(t)=4t^3-6at^2+a $$

の実数解の個数に一致する。

次に、この三次方程式が異なる実数解をちょうど $3$ 個もつ条件を調べる。

$f'(t)$ は

$$ f'(t)=12t(t-a) $$

である。

（i） $a>0$ の場合

極値をとる点は $t=0,\ a$ であり、$0<a$ だから $t=0$ で極大、$t=a$ で極小となる。

そのとき

$$ f(0)=a>0,\qquad f(a)=4a^3-6a^3+a=a(1-2a^2) $$

三次関数が異なる実数解を $3$ 個もつためには、極大値が正、極小値が負であればよい。ここではすでに $f(0)>0$ なので、必要十分条件は

$$ f(a)<0 $$

すなわち

$$ a(1-2a^2)<0 $$

である。$a>0$ だから

$$ 1-2a^2<0 $$

となり、

$$ a>\frac{1}{\sqrt2} $$

を得る。

（ii） $a<0$ の場合

このとき $a<0<0$ であるから、$t=a$ で極大、$t=0$ で極小となる。

値は

$$ f(a)=a(1-2a^2),\qquad f(0)=a<0 $$

である。

異なる実数解を $3$ 個もつためには、極大値が正、極小値が負であればよい。ここではすでに $f(0)<0$ なので、必要十分条件は

$$ f(a)>0 $$

すなわち

$$ a(1-2a^2)>0 $$

である。$a<0$ だから

$$ 1-2a^2<0 $$

となり、

$$ a<-\frac{1}{\sqrt2} $$

を得る。

以上より、共通接線がちょうど $3$ 本となるのは

$$ |a|>\frac{1}{\sqrt2} $$

のときである。

なお、$a=\pm \frac{1}{\sqrt2}$ では極値がちょうど $0$ となり、重解をもつため、共通接線は $3$ 本ではない。

解説

一方の放物線の接線をパラメータ $t$ で表し、その直線が他方にも接する条件を「交点に重解をもつ」として処理するのが基本方針である。

本問では共通接線の本数が三次方程式の実数解の個数に帰着される。したがって、最後は三次関数の極大値・極小値の符号を調べればよい。接線の本数を直接図形的に数えようとすると曖昧になりやすいが、式に落とせば正確に判定できる。

答え

$$ a<-\frac{1}{\sqrt2}\quad \text{または}\quad a>\frac{1}{\sqrt2} $$

すなわち

$$ |a|>\frac{1}{\sqrt2} $$

である。